Номер 254, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

254. На 80 км пути велосипедист тратит на 2 ч больше, чем мотоциклист, так как его скорость на 20 км/ч меньше, чем скорость мотоциклиста. Найдите скорость велосипедиста.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, его скорость на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста, следовательно, скорость мотоциклиста равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние, которое они оба проезжают, составляет 80 км.

Время, затраченное велосипедистом на этот путь, выражается формулой $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Таким образом, время велосипедиста равно $\frac{80}{x}$ ч.

Время, затраченное мотоциклистом, равно $\frac{80}{x + 20}$ ч.

Известно, что велосипедист тратит на путь на 2 часа больше, чем мотоциклист. На основе этого составим уравнение:

$\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 20} = 2$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$:

$\frac{80(x + 20) - 80x}{x(x + 20)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{80x + 1600 - 80x}{x(x + 20)} = 2$

$\frac{1600}{x^2 + 20x} = 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 20x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -20$, что соответствует физическому смыслу задачи (скорость не может быть нулевой или отрицательной).

$1600 = 2(x^2 + 20x)$

$1600 = 2x^2 + 40x$

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$2x^2 + 40x - 1600 = 0 \quad | :2$

$x^2 + 20x - 800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800) = 400 + 3200 = 3600$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 60}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 60}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -40$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста составляет 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.