Номер 257, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

257. За 6 ч катер прошёл 36 км по течению реки и 48 км против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 3 км/ч?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде). Это значение нам необходимо найти.

Скорость течения реки известна и составляет $3$ км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки будет равна сумме собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{по\;теч.} = (x + 3)$ км/ч.

Скорость катера против течения реки будет равна разности собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{против\;теч.} = (x - 3)$ км/ч.

Здесь важно отметить, что собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, иначе он не смог бы двигаться против течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, которое катер затратил на путь по течению (пройдя $36$ км), равно:

$t_{по\;теч.} = \frac{36}{x + 3}$ ч.

Время, которое катер затратил на путь против течения (пройдя $48$ км), равно:

$t_{против\;теч.} = \frac{48}{x - 3}$ ч.

По условию задачи, общее время в пути составляет $6$ часов. Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_{по\;теч.} + t_{против\;теч.} = 6$

$\frac{36}{x + 3} + \frac{48}{x - 3} = 6$

Для упрощения разделим обе части уравнения на $6$:

$\frac{6}{x + 3} + \frac{8}{x - 3} = 1$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3)$:

$\frac{6(x - 3) + 8(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{6x - 18 + 8x + 24}{x^2 - 9} = 1$

Упростим числитель:

$\frac{14x + 6}{x^2 - 9} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $x^2 - 9$ (при условии, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$):

$14x + 6 = x^2 - 9$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 14x - 9 - 6 = 0$

$x^2 - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -1$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Таким образом, скорость катера в стоячей воде равна $15$ км/ч.

Проверим решение:

Скорость по течению: $15 + 3 = 18$ км/ч.

Время по течению: $\frac{36}{18} = 2$ ч.

Скорость против течения: $15 - 3 = 12$ км/ч.

Время против течения: $\frac{48}{12} = 4$ ч.

Общее время: $2 + 4 = 6$ ч. Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч.