Номер 262, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 262, страница 87.

Условие.

262. Сократите дробь:

Решение 1.

Решение 8.

а) $\frac{2ab + 2by + ay + y^2}{2ab - 2by + ay + y^2}$

Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. В знаменателе, скорее всего, допущена опечатка, так как в текущем виде он не раскладывается на множители стандартными методами, что делает сокращение невозможным. Типичная задача такого рода предполагает, что знаменатель имеет вид $2ab - 2by + ay - y^2$. Примем это предположение и решим задачу.

1. Разложим на множители числитель, используя метод группировки:

$2ab + 2by + ay + y^2 = (2ab + 2by) + (ay + y^2) = 2b(a + y) + y(a + y) = (a + y)(2b + y)$

2. Разложим на множители предполагаемый (исправленный) знаменатель:

$2ab - 2by + ay - y^2 = (2ab - 2by) + (ay - y^2) = 2b(a - y) + y(a - y) = (a - y)(2b + y)$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(a + y)(2b + y)}{(a - y)(2b + y)} = \frac{a + y}{a - y}$

Сокращение выполнено при условии, что общий множитель $2b + y \neq 0$.

Ответ: $\frac{a + y}{a - y}$

б) $\frac{9x^2 + 6x + 4}{27x^3 - 8}$

Для сокращения этой дроби необходимо разложить знаменатель на множители. Заметим, что знаменатель является разностью кубов.

1. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ к знаменателю $27x^3 - 8$.

Здесь $a = 3x$ и $b = 2$.

$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2) = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

2. Теперь подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{9x^2 + 6x + 4}{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}$

3. Числитель и один из множителей в знаменателе совпадают. Сократим дробь на общий множитель $(9x^2 + 6x + 4)$.

$\frac{\cancel{9x^2 + 6x + 4}}{(3x - 2)\cancel{(9x^2 + 6x + 4)}} = \frac{1}{3x - 2}$

Сокращение возможно, так как выражение $9x^2 + 6x + 4$ (неполный квадрат суммы) всегда положительно при любых действительных значениях $x$ и не равно нулю. Исходная дробь определена при $27x^3 - 8 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{2}{3}$, что совпадает с областью определения полученного выражения.

Ответ: $\frac{1}{3x - 2}$