Номер 259, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 259, страница 87.

Условие.

259. Моторная лодка прошла по течению 70 км. За то же время она может пройти против течения 30 км. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения задачи обозначим искомую скорость течения реки через переменную.

Пусть $x$ км/ч – скорость течения реки.
Собственная скорость моторной лодки по условию задачи равна $10$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается со скоростью течения. Скорость лодки по течению равна $v_{по\ теч.} = (10 + x)$ км/ч.
Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из ее собственной скорости. Скорость лодки против течения равна $v_{против\ теч.} = (10 - x)$ км/ч.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, которое лодка затратила на путь в $70$ км по течению, составляет:
$t_{1} = \frac{70}{10 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь в $30$ км против течения, составляет:
$t_{2} = \frac{30}{10 - x}$ часов.

Согласно условию задачи, время, затраченное на путь по течению, равно времени, затраченному на путь против течения: $t_{1} = t_{2}$.
Составим уравнение, приравняв выражения для времени:
$\frac{70}{10 + x} = \frac{30}{10 - x}$

Решим это уравнение. Можно использовать основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$70 \cdot (10 - x) = 30 \cdot (10 + x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$700 - 70x = 300 + 30x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$700 - 300 = 30x + 70x$
$400 = 100x$

Найдем $x$:
$x = \frac{400}{100}$
$x = 4$

Следовательно, скорость течения реки составляет $4$ км/ч.

Ответ: 4 км/ч.