Номер 253, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 253, страница 86.

Условие.

253. Мотоциклист проехал от села до озера 60 км. На обратном пути он уменьшил скорость на 10 км/ч, поэтому от озера в село он ехал на 0,3 ч дольше. Сколько времени мотоциклист ехал от озера до села?

Решение 1.

Решение 8.

Обозначим первоначальную скорость мотоциклиста, с которой он ехал от села до озера, как $v$ км/ч. Расстояние составляет 60 км.

Время, затраченное на путь от села до озера, равно $t_1 = \frac{60}{v}$ ч.

На обратном пути мотоциклист уменьшил скорость на 10 км/ч, следовательно, его скорость на обратном пути была $(v - 10)$ км/ч.

Время, затраченное на обратный путь от озера до села, равно $t_2 = \frac{60}{v - 10}$ ч.

Из условия задачи известно, что на обратный путь он затратил на 0,3 часа больше. Это можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 0.3$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{60}{v - 10} - \frac{60}{v} = 0.3$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 10)$:

$\frac{60v - 60(v - 10)}{v(v - 10)} = 0.3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60v - 60v + 600}{v^2 - 10v} = 0.3$

$\frac{600}{v^2 - 10v} = 0.3$

Теперь решим это уравнение относительно $v$. Умножим обе части на знаменатель, предполагая, что $v \ne 0$ и $v \ne 10$:

$600 = 0.3(v^2 - 10v)$

Разделим обе части на 0.3:

$2000 = v^2 - 10v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - 10v - 2000 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Теперь найдем значения $v$:

$v_1 = \frac{-(-10) + 90}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 90}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-(-10) - 90}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 90}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, правильным является значение $v = 50$ км/ч. Это была скорость мотоциклиста на пути от села до озера.

В задаче требуется найти, сколько времени мотоциклист ехал от озера до села. Для этого сначала найдем его скорость на обратном пути:

$v_{обратно} = v - 10 = 50 - 10 = 40$ км/ч.

Теперь вычислим время, затраченное на обратный путь:

$t_2 = \frac{60 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = \frac{6}{4} = 1.5$ ч.

Ответ: 1,5 ч.