Номер 249, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 249, страница 86.

Условие.

249. Одно число на 6 больше другого. Если большее число разделить на меньшее и к частному прибавить результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее, то получится 4. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 8.

Пусть меньшее число равно $x$. Поскольку одно число на 6 больше другого, то большее число будет равно $x + 6$.

Согласно условию задачи, если большее число разделить на меньшее и к полученному частному прибавить результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее, то получится 4. Составим математическое уравнение на основе этого условия.

Частное от деления большего числа на меньшее: $\frac{x+6}{x}$

Результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа ($4x$) на большее ($x+6$): $\frac{4x}{x+6}$

Сумма этих двух выражений равна 4:

$\frac{x+6}{x} + \frac{4x}{x+6} = 4$

Решим это уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условиями $x \neq 0$ и $x+6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+6)$:

$\frac{(x+6)(x+6)}{x(x+6)} + \frac{4x \cdot x}{x(x+6)} = 4$

$\frac{(x+6)^2 + 4x^2}{x(x+6)} = 4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x+6)$, чтобы избавиться от дроби:

$(x+6)^2 + 4x^2 = 4x(x+6)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x^2 + 12x + 36 + 4x^2 = 4x^2 + 24x$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 12x + 36 = 4x^2 + 24x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 4x^2 + 12x - 24x + 36 = 0$

$x^2 - 12x + 36 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(x-6)^2 = 0$

Отсюда находим корень уравнения:

$x - 6 = 0$

$x = 6$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($6 \neq 0$ и $6 \neq -6$).

Итак, мы нашли меньшее число, оно равно 6.

Теперь найдем большее число:

$x + 6 = 6 + 6 = 12$

Проведем проверку. Делим большее число на меньшее: $\frac{12}{6} = 2$. Делим учетверенное меньшее число на большее: $\frac{4 \cdot 6}{12} = \frac{24}{12} = 2$. Складываем результаты: $2 + 2 = 4$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 6 и 12.