Номер 245, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Дробные рациональные уравнения. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 245, страница 84.

Условие.

245. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}) = 3\frac{1}{2}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Данное уравнение является так называемым возвратным уравнением.

Заметим, что выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$ можно выразить через $x - \frac{1}{x}$. Для этого возведем в квадрат выражение в скобках:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{1}{x}$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$(t^2 + 2) - \frac{1}{2}t = 3\frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $t$. Сначала преобразуем его:

$t^2 - \frac{1}{2}t + 2 - \frac{7}{2} = 0$

$t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{3}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = \frac{3}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$. Умножим на $2x$ (так как $x \neq 0$):

$2x^2 - 2 = 3x \implies 2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни для $x$: $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$.

2) Если $t = -1$, то $x - \frac{1}{x} = -1$. Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -x \implies x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни для $x$: $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные значения $x$ входят в ОДЗ.

Ответ: $2; -\frac{1}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

б) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{3}(x + \frac{1}{x}) = 8$

ОДЗ: $x \neq 0$. Это уравнение также является возвратным.

В данном случае выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$ удобно выразить через $x + \frac{1}{x}$:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение принимает вид:

$(y^2 - 2) - \frac{1}{3}y = 8$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$y^2 - \frac{1}{3}y - 2 - 8 = 0$

$y^2 - \frac{1}{3}y - 10 = 0$

Умножим обе части уравнения на 3:

$3y^2 - y - 30 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{1 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ и $y_2 = \frac{1 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1) Если $y = \frac{10}{3}$, то $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$. Умножим на $3x$:

$3x^2 + 3 = 10x \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Решим это уравнение: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни для $x$: $x_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2) Если $y = -3$, то $x + \frac{1}{x} = -3$. Умножим на $x$:

$x^2 + 1 = -3x \implies x^2 + 3x + 1 = 0$.

Решим это уравнение: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Корни для $x$: $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные значения $x$ входят в ОДЗ.

Ответ: $3; \frac{1}{3}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.