Номер 251, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 251, страница 86.

Условие.

251. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если числитель дроби увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной. Найдите эту дробь.

Решение 1.

Решение 8.

Пусть числитель исходной обыкновенной дроби равен $x$. Согласно условию, знаменатель этой дроби на 3 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x + 3$.Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+3}$.Дробь, обратная данной, равна $\frac{x+3}{x}$.

Теперь выполним преобразования, описанные в задаче.Новый числитель получается, если исходный числитель ($x$) увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7. Получаем: $3x - 7$.Новый знаменатель получается, если исходный знаменатель ($x+3$) увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11. Получаем: $2(x+3) - 11$. Упростим это выражение: $2x + 6 - 11 = 2x - 5$.

Новая дробь имеет вид $\frac{3x - 7}{2x - 5}$.По условию, эта новая дробь равна дроби, обратной данной. Составим уравнение:

$\frac{3x - 7}{2x - 5} = \frac{x+3}{x}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестным умножением). Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй и знаменатель первой на числитель второй. Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $2x-5 \neq 0$.

$x(3x - 7) = (x+3)(2x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 7x = 2x^2 - 5x + 6x - 15$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x^2 - 7x = 2x^2 + x - 15$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x^2 - 7x - x + 15 = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют области допустимых значений. Найдем исходную дробь для каждого из найденных значений $x$.

1. Если числитель $x = 3$, то знаменатель равен $x + 3 = 3 + 3 = 6$.
Исходная дробь: $\frac{3}{6}$.
Проверим это решение. Новая дробь: $\frac{3 \cdot 3 - 7}{2(3+3) - 11} = \frac{9-7}{12-11} = \frac{2}{1} = 2$. Дробь, обратная исходной: $\frac{6}{3} = 2$. Равенство $2 = 2$ выполняется, значит, решение верное.

2. Если числитель $x = 5$, то знаменатель равен $x + 3 = 5 + 3 = 8$.
Исходная дробь: $\frac{5}{8}$.
Проверим это решение. Новая дробь: $\frac{3 \cdot 5 - 7}{2(5+3) - 11} = \frac{15-7}{16-11} = \frac{8}{5}$. Дробь, обратная исходной: $\frac{8}{5}$. Равенство $\frac{8}{5} = \frac{8}{5}$ выполняется, значит, решение верное.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $\frac{3}{6}$ или $\frac{5}{8}$.