Номер 256, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

256. С первого участка собрали 80 ц проса, а со второго 90 ц проса, хотя площадь второго участка была на 2 га меньше. С каждого гектара второго участка собирали на 5 ц больше, чем с каждого гектара первого. Какова урожайность проса на каждом участке?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $U_1$ (ц/га) - урожайность проса на первом участке.
• Пусть $S_1$ (га) - площадь первого участка.
• Пусть $U_2$ (ц/га) - урожайность проса на втором участке.
• Пусть $S_2$ (га) - площадь второго участка.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. С первого участка собрали 80 ц: $U_1 \cdot S_1 = 80$.
2. Со второго участка собрали 90 ц: $U_2 \cdot S_2 = 90$.
3. Площадь второго участка была на 2 га меньше: $S_2 = S_1 - 2$.
4. Урожайность со второго участка была на 5 ц/га больше: $U_2 = U_1 + 5$.

Решение:

Выразим площади участков через урожайность из первых двух уравнений:

$S_1 = \frac{80}{U_1}$

$S_2 = \frac{90}{U_2}$

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение ($S_2 = S_1 - 2$):

$\frac{90}{U_2} = \frac{80}{U_1} - 2$

В полученное уравнение подставим выражение для $U_2$ из четвертого уравнения ($U_2 = U_1 + 5$):

$\frac{90}{U_1 + 5} = \frac{80}{U_1} - 2$

Мы получили уравнение с одной неизвестной $U_1$. Решим его. Для этого умножим все члены уравнения на общий знаменатель $U_1(U_1 + 5)$, при условии, что $U_1 \neq 0$ и $U_1 \neq -5$.

$90 \cdot U_1 = 80 \cdot (U_1 + 5) - 2 \cdot U_1(U_1 + 5)$

Раскроем скобки:

$90U_1 = 80U_1 + 400 - 2U_1^2 - 10U_1$

Приведем подобные члены:

$90U_1 = 70U_1 + 400 - 2U_1^2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2U_1^2 + 90U_1 - 70U_1 - 400 = 0$

$2U_1^2 + 20U_1 - 400 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$U_1^2 + 10U_1 - 200 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$U_{1,1} = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$U_{1,2} = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку урожайность не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $U_1 = 10$.

Таким образом, урожайность на первом участке составляет 10 ц/га.

Теперь найдем урожайность на втором участке:

$U_2 = U_1 + 5 = 10 + 5 = 15$

Урожайность на втором участке составляет 15 ц/га.

Ответ: урожайность проса на первом участке 10 ц/га, на втором участке 15 ц/га.