Страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

249. Одно число на 6 больше другого. Если большее число разделить на меньшее и к частному прибавить результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее, то получится 4. Найдите эти числа.

Пусть меньшее число равно $x$. Поскольку одно число на 6 больше другого, то большее число будет равно $x + 6$.

Согласно условию задачи, если большее число разделить на меньшее и к полученному частному прибавить результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее, то получится 4. Составим математическое уравнение на основе этого условия.

Частное от деления большего числа на меньшее: $\frac{x+6}{x}$

Результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа ($4x$) на большее ($x+6$): $\frac{4x}{x+6}$

Сумма этих двух выражений равна 4:

$\frac{x+6}{x} + \frac{4x}{x+6} = 4$

Решим это уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условиями $x \neq 0$ и $x+6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+6)$:

$\frac{(x+6)(x+6)}{x(x+6)} + \frac{4x \cdot x}{x(x+6)} = 4$

$\frac{(x+6)^2 + 4x^2}{x(x+6)} = 4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x+6)$, чтобы избавиться от дроби:

$(x+6)^2 + 4x^2 = 4x(x+6)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x^2 + 12x + 36 + 4x^2 = 4x^2 + 24x$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 12x + 36 = 4x^2 + 24x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 4x^2 + 12x - 24x + 36 = 0$

$x^2 - 12x + 36 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(x-6)^2 = 0$

Отсюда находим корень уравнения:

$x - 6 = 0$

$x = 6$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($6 \neq 0$ и $6 \neq -6$).

Итак, мы нашли меньшее число, оно равно 6.

Теперь найдем большее число:

$x + 6 = 6 + 6 = 12$

Проведем проверку. Делим большее число на меньшее: $\frac{12}{6} = 2$. Делим учетверенное меньшее число на большее: $\frac{4 \cdot 6}{12} = \frac{24}{12} = 2$. Складываем результаты: $2 + 2 = 4$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 6 и 12.

250. Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на $\frac{1}{6}$. Найдите эту дробь.

Пусть числитель исходной дроби равен $x$. Согласно условию, знаменатель на 6 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x + 6$.Таким образом, исходная дробь имеет вид: $\frac{x}{x+6}$.

Если из числителя вычесть 2, то новый числитель станет $x - 2$.Если к знаменателю прибавить 2, то новый знаменатель станет $(x + 6) + 2 = x + 8$.Новая дробь будет равна $\frac{x-2}{x+8}$.

По условию, новая дробь на $\frac{1}{6}$ меньше исходной. Составим уравнение, которое отражает эту зависимость:$\frac{x}{x+6} - \frac{x-2}{x+8} = \frac{1}{6}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+6)(x+8)$:$\frac{x(x+8) - (x-2)(x+6)}{(x+6)(x+8)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе левой части:$\frac{(x^2 + 8x) - (x^2 + 6x - 2x - 12)}{x^2 + 8x + 6x + 48} = \frac{1}{6}$

Упростим выражение в числителе:$\frac{x^2 + 8x - x^2 - 4x + 12}{x^2 + 14x + 48} = \frac{1}{6}$$\frac{4x + 12}{x^2 + 14x + 48} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:$6(4x + 12) = 1(x^2 + 14x + 48)$$24x + 72 = x^2 + 14x + 48$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:$x^2 + 14x - 24x + 48 - 72 = 0$$x^2 - 10x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Получили два возможных значения для числителя. Найдем соответствующие дроби:

1. Если числитель $x = 12$, то знаменатель равен $x + 6 = 12 + 6 = 18$. Исходная дробь — $\frac{12}{18}$.
Проверка: новая дробь $\frac{12-2}{18+2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. Разность: $\frac{12}{18} - \frac{10}{20} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$. Условие выполняется.

2. Если числитель $x = -2$, то знаменатель равен $x + 6 = -2 + 6 = 4$. Исходная дробь — $\frac{-2}{4}$.
Проверка: новая дробь $\frac{-2-2}{4+2} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$. Разность: $\frac{-2}{4} - (-\frac{4}{6}) = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{-3+4}{6} = \frac{1}{6}$. Условие также выполняется.

Оба решения математически верны. Однако в школьных задачах под "обыкновенной дробью" часто подразумевают дробь с натуральными числителем и знаменателем, поэтому наиболее вероятным ответом является первый вариант.

Ответ: $\frac{12}{18}$

251. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если числитель дроби увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной. Найдите эту дробь.

Пусть числитель исходной обыкновенной дроби равен $x$. Согласно условию, знаменатель этой дроби на 3 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x + 3$.Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+3}$.Дробь, обратная данной, равна $\frac{x+3}{x}$.

Теперь выполним преобразования, описанные в задаче.Новый числитель получается, если исходный числитель ($x$) увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7. Получаем: $3x - 7$.Новый знаменатель получается, если исходный знаменатель ($x+3$) увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11. Получаем: $2(x+3) - 11$. Упростим это выражение: $2x + 6 - 11 = 2x - 5$.

Новая дробь имеет вид $\frac{3x - 7}{2x - 5}$.По условию, эта новая дробь равна дроби, обратной данной. Составим уравнение:

$\frac{3x - 7}{2x - 5} = \frac{x+3}{x}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестным умножением). Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй и знаменатель первой на числитель второй. Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $2x-5 \neq 0$.

$x(3x - 7) = (x+3)(2x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 7x = 2x^2 - 5x + 6x - 15$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x^2 - 7x = 2x^2 + x - 15$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x^2 - 7x - x + 15 = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют области допустимых значений. Найдем исходную дробь для каждого из найденных значений $x$.

1. Если числитель $x = 3$, то знаменатель равен $x + 3 = 3 + 3 = 6$.
Исходная дробь: $\frac{3}{6}$.
Проверим это решение. Новая дробь: $\frac{3 \cdot 3 - 7}{2(3+3) - 11} = \frac{9-7}{12-11} = \frac{2}{1} = 2$. Дробь, обратная исходной: $\frac{6}{3} = 2$. Равенство $2 = 2$ выполняется, значит, решение верное.

2. Если числитель $x = 5$, то знаменатель равен $x + 3 = 5 + 3 = 8$.
Исходная дробь: $\frac{5}{8}$.
Проверим это решение. Новая дробь: $\frac{3 \cdot 5 - 7}{2(5+3) - 11} = \frac{15-7}{16-11} = \frac{8}{5}$. Дробь, обратная исходной: $\frac{8}{5}$. Равенство $\frac{8}{5} = \frac{8}{5}$ выполняется, значит, решение верное.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $\frac{3}{6}$ или $\frac{5}{8}$.

252. Из посёлка в город, до которого 150 км, выехали одновременно легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового автомобиля была на 10 км/ч больше скорости грузового, поэтому он приехал в город на полчаса быстрее, чем грузовой автомобиль. Найдите скорость грузового автомобиля.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это скорость грузового автомобиля. Согласно условию, скорость легкового автомобиля на 10 км/ч больше, следовательно, она составляет $(x + 10)$ км/ч. Расстояние между посёлком и городом равно 150 км.

Время, которое затратил на весь путь грузовой автомобиль, вычисляется по формуле $t = S/V$, где $S$ — расстояние, а $V$ — скорость. Таким образом, время в пути для грузовика: $t_{груз} = \frac{150}{x}$ часов.

Аналогично, время в пути для легкового автомобиля: $t_{легк} = \frac{150}{x+10}$ часов.

Известно, что легковой автомобиль приехал на полчаса (то есть на 0,5 часа) быстрее грузового. Это значит, что время в пути грузовика было на 0,5 часа больше времени легкового автомобиля. На основе этого можно составить уравнение:

$t_{груз} - t_{легк} = 0,5$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{150}{x} - \frac{150}{x+10} = 0,5$

Теперь решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{150(x+10) - 150x}{x(x+10)} = 0,5$

$\frac{150x + 1500 - 150x}{x^2 + 10x} = 0,5$

$\frac{1500}{x^2 + 10x} = 0,5$

Из этого следует (используя свойство пропорции), что:

$x^2 + 10x = \frac{1500}{0,5}$

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1} = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_{2} = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

По смыслу задачи скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -60$ не подходит. Единственное решение, удовлетворяющее условию, — $x=50$.

Таким образом, скорость грузового автомобиля составляет 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

253. Мотоциклист проехал от села до озера 60 км. На обратном пути он уменьшил скорость на 10 км/ч, поэтому от озера в село он ехал на 0,3 ч дольше. Сколько времени мотоциклист ехал от озера до села?

Обозначим первоначальную скорость мотоциклиста, с которой он ехал от села до озера, как $v$ км/ч. Расстояние составляет 60 км.

Время, затраченное на путь от села до озера, равно $t_1 = \frac{60}{v}$ ч.

На обратном пути мотоциклист уменьшил скорость на 10 км/ч, следовательно, его скорость на обратном пути была $(v - 10)$ км/ч.

Время, затраченное на обратный путь от озера до села, равно $t_2 = \frac{60}{v - 10}$ ч.

Из условия задачи известно, что на обратный путь он затратил на 0,3 часа больше. Это можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 0.3$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{60}{v - 10} - \frac{60}{v} = 0.3$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 10)$:

$\frac{60v - 60(v - 10)}{v(v - 10)} = 0.3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60v - 60v + 600}{v^2 - 10v} = 0.3$

$\frac{600}{v^2 - 10v} = 0.3$

Теперь решим это уравнение относительно $v$. Умножим обе части на знаменатель, предполагая, что $v \ne 0$ и $v \ne 10$:

$600 = 0.3(v^2 - 10v)$

Разделим обе части на 0.3:

$2000 = v^2 - 10v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - 10v - 2000 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Теперь найдем значения $v$:

$v_1 = \frac{-(-10) + 90}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 90}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-(-10) - 90}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 90}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, правильным является значение $v = 50$ км/ч. Это была скорость мотоциклиста на пути от села до озера.

В задаче требуется найти, сколько времени мотоциклист ехал от озера до села. Для этого сначала найдем его скорость на обратном пути:

$v_{обратно} = v - 10 = 50 - 10 = 40$ км/ч.

Теперь вычислим время, затраченное на обратный путь:

$t_2 = \frac{60 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = \frac{6}{4} = 1.5$ ч.

Ответ: 1,5 ч.

254. На 80 км пути велосипедист тратит на 2 ч больше, чем мотоциклист, так как его скорость на 20 км/ч меньше, чем скорость мотоциклиста. Найдите скорость велосипедиста.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, его скорость на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста, следовательно, скорость мотоциклиста равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние, которое они оба проезжают, составляет 80 км.

Время, затраченное велосипедистом на этот путь, выражается формулой $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Таким образом, время велосипедиста равно $\frac{80}{x}$ ч.

Время, затраченное мотоциклистом, равно $\frac{80}{x + 20}$ ч.

Известно, что велосипедист тратит на путь на 2 часа больше, чем мотоциклист. На основе этого составим уравнение:

$\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 20} = 2$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$:

$\frac{80(x + 20) - 80x}{x(x + 20)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{80x + 1600 - 80x}{x(x + 20)} = 2$

$\frac{1600}{x^2 + 20x} = 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 20x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -20$, что соответствует физическому смыслу задачи (скорость не может быть нулевой или отрицательной).

$1600 = 2(x^2 + 20x)$

$1600 = 2x^2 + 40x$

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$2x^2 + 40x - 1600 = 0 \quad | :2$

$x^2 + 20x - 800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800) = 400 + 3200 = 3600$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 60}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 60}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -40$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста составляет 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

255. Первый лыжник прошёл дистанцию 30 км на $\frac{1}{2}$ч быстрее, чем второй дистанцию 45 км, хотя скорость второго была на 3 км/ч больше. За какое время первый лыжник прошёл 30 км?

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого лыжника, а $t_1$ (ч) — его время в пути.Тогда $t_1 = \frac{30}{v_1}$.

Пусть $v_2$ (км/ч) — скорость второго лыжника, а $t_2$ (ч) — его время в пути.Тогда $t_2 = \frac{45}{v_2}$.

Из условия задачи известно, что скорость второго лыжника была на 3 км/ч больше скорости первого:$v_2 = v_1 + 3$.

Также известно, что первый лыжник прошёл дистанцию на $\frac{1}{2}$ часа (или 0,5 часа) быстрее, чем второй:$t_2 - t_1 = \frac{1}{2}$.

Подставим выражения для времени и скорости в это уравнение:$\frac{45}{v_2} - \frac{30}{v_1} = \frac{1}{2}$

Заменим $v_2$ на $v_1 + 3$:$\frac{45}{v_1 + 3} - \frac{30}{v_1} = \frac{1}{2}$

Приведём левую часть к общему знаменателю $v_1(v_1 + 3)$:$\frac{45v_1 - 30(v_1 + 3)}{v_1(v_1 + 3)} = \frac{1}{2}$

Упростим числитель:$\frac{45v_1 - 30v_1 - 90}{v_1^2 + 3v_1} = \frac{1}{2}$$\frac{15v_1 - 90}{v_1^2 + 3v_1} = \frac{1}{2}$

Используем свойство пропорции (перекрёстное умножение):$2(15v_1 - 90) = 1(v_1^2 + 3v_1)$$30v_1 - 180 = v_1^2 + 3v_1$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$v_1^2 + 3v_1 - 30v_1 + 180 = 0$$v_1^2 - 27v_1 + 180 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$

Найдём корни уравнения для $v_1$:$v_{1,1} = \frac{-(-27) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 + 3}{2} = 15$ км/ч.$v_{1,2} = \frac{-(-27) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 - 3}{2} = 12$ км/ч.

Оба корня положительны, поэтому существует два возможных решения. Найдём время первого лыжника для каждого случая. Вопрос задачи: "За какое время первый лыжник прошёл 30 км?". Это время $t_1 = \frac{30}{v_1}$.

Случай 1: Если скорость первого лыжника $v_1 = 15$ км/ч.
Время первого лыжника: $t_1 = \frac{30}{15} = 2$ часа.
Проверка: Скорость второго лыжника $v_2 = 15 + 3 = 18$ км/ч. Время второго лыжника $t_2 = \frac{45}{18} = 2.5$ часа. Разница во времени $t_2 - t_1 = 2.5 - 2 = 0.5$ часа. Условие выполняется.

Случай 2: Если скорость первого лыжника $v_1 = 12$ км/ч.
Время первого лыжника: $t_1 = \frac{30}{12} = 2.5$ часа.
Проверка: Скорость второго лыжника $v_2 = 12 + 3 = 15$ км/ч. Время второго лыжника $t_2 = \frac{45}{15} = 3$ часа. Разница во времени $t_2 - t_1 = 3 - 2.5 = 0.5$ часа. Условие также выполняется.

Таким образом, оба варианта являются корректными решениями задачи.

Ответ: 2 часа или 2,5 часа.

256. С первого участка собрали 80 ц проса, а со второго 90 ц проса, хотя площадь второго участка была на 2 га меньше. С каждого гектара второго участка собирали на 5 ц больше, чем с каждого гектара первого. Какова урожайность проса на каждом участке?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $U_1$ (ц/га) - урожайность проса на первом участке.
• Пусть $S_1$ (га) - площадь первого участка.
• Пусть $U_2$ (ц/га) - урожайность проса на втором участке.
• Пусть $S_2$ (га) - площадь второго участка.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. С первого участка собрали 80 ц: $U_1 \cdot S_1 = 80$.
2. Со второго участка собрали 90 ц: $U_2 \cdot S_2 = 90$.
3. Площадь второго участка была на 2 га меньше: $S_2 = S_1 - 2$.
4. Урожайность со второго участка была на 5 ц/га больше: $U_2 = U_1 + 5$.

Решение:

Выразим площади участков через урожайность из первых двух уравнений:

$S_1 = \frac{80}{U_1}$

$S_2 = \frac{90}{U_2}$

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение ($S_2 = S_1 - 2$):

$\frac{90}{U_2} = \frac{80}{U_1} - 2$

В полученное уравнение подставим выражение для $U_2$ из четвертого уравнения ($U_2 = U_1 + 5$):

$\frac{90}{U_1 + 5} = \frac{80}{U_1} - 2$

Мы получили уравнение с одной неизвестной $U_1$. Решим его. Для этого умножим все члены уравнения на общий знаменатель $U_1(U_1 + 5)$, при условии, что $U_1 \neq 0$ и $U_1 \neq -5$.

$90 \cdot U_1 = 80 \cdot (U_1 + 5) - 2 \cdot U_1(U_1 + 5)$

Раскроем скобки:

$90U_1 = 80U_1 + 400 - 2U_1^2 - 10U_1$

Приведем подобные члены:

$90U_1 = 70U_1 + 400 - 2U_1^2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2U_1^2 + 90U_1 - 70U_1 - 400 = 0$

$2U_1^2 + 20U_1 - 400 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$U_1^2 + 10U_1 - 200 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$U_{1,1} = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$U_{1,2} = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку урожайность не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $U_1 = 10$.

Таким образом, урожайность на первом участке составляет 10 ц/га.

Теперь найдем урожайность на втором участке:

$U_2 = U_1 + 5 = 10 + 5 = 15$

Урожайность на втором участке составляет 15 ц/га.

Ответ: урожайность проса на первом участке 10 ц/га, на втором участке 15 ц/га.

257. За 6 ч катер прошёл 36 км по течению реки и 48 км против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 3 км/ч?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде). Это значение нам необходимо найти.

Скорость течения реки известна и составляет $3$ км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки будет равна сумме собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{по\;теч.} = (x + 3)$ км/ч.

Скорость катера против течения реки будет равна разности собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{против\;теч.} = (x - 3)$ км/ч.

Здесь важно отметить, что собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, иначе он не смог бы двигаться против течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, которое катер затратил на путь по течению (пройдя $36$ км), равно:

$t_{по\;теч.} = \frac{36}{x + 3}$ ч.

Время, которое катер затратил на путь против течения (пройдя $48$ км), равно:

$t_{против\;теч.} = \frac{48}{x - 3}$ ч.

По условию задачи, общее время в пути составляет $6$ часов. Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_{по\;теч.} + t_{против\;теч.} = 6$

$\frac{36}{x + 3} + \frac{48}{x - 3} = 6$

Для упрощения разделим обе части уравнения на $6$:

$\frac{6}{x + 3} + \frac{8}{x - 3} = 1$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3)$:

$\frac{6(x - 3) + 8(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{6x - 18 + 8x + 24}{x^2 - 9} = 1$

Упростим числитель:

$\frac{14x + 6}{x^2 - 9} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $x^2 - 9$ (при условии, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$):

$14x + 6 = x^2 - 9$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 14x - 9 - 6 = 0$

$x^2 - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -1$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Таким образом, скорость катера в стоячей воде равна $15$ км/ч.

Проверим решение:

Скорость по течению: $15 + 3 = 18$ км/ч.

Время по течению: $\frac{36}{18} = 2$ ч.

Скорость против течения: $15 - 3 = 12$ км/ч.

Время против течения: $\frac{48}{12} = 4$ ч.

Общее время: $2 + 4 = 6$ ч. Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч.