Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

232. Два сварщика, работая вместе, могут выполнить задание за 30 ч. За сколько часов сможет выполнить это задание каждый сварщик, если известно, что первому на выполнение всей работы потребуется времени на 11 ч больше, чем второму?

Примем весь объем работы за 1 (единицу).

Пусть $x$ часов — время, за которое второй сварщик может выполнить всю работу самостоятельно.

Тогда, согласно условию, первому сварщику потребуется на 11 часов больше, то есть $(x + 11)$ часов.

Производительность (скорость работы) первого сварщика составляет $\frac{1}{x+11}$ часть работы в час.

Производительность второго сварщика составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в час.

Когда сварщики работают вместе, их общая производительность является суммой их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x+11} + \frac{1}{x}$.

По условию, работая вместе, они выполняют всю работу за 30 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{30}$ часть работы в час.

Составим уравнение, приравняв общую производительность к известному значению:
$\frac{1}{x+11} + \frac{1}{x} = \frac{1}{30}$

Чтобы решить это уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+11)$:
$\frac{x + (x+11)}{x(x+11)} = \frac{1}{30}$
$\frac{2x + 11}{x^2 + 11x} = \frac{1}{30}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$30(2x + 11) = 1(x^2 + 11x)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$60x + 330 = x^2 + 11x$
$x^2 + 11x - 60x - 330 = 0$
$x^2 - 49x - 330 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-330) = 2401 + 1320 = 3721$
$\sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-49) + 61}{2 \cdot 1} = \frac{49 + 61}{2} = \frac{110}{2} = 55$
$x_2 = \frac{-(-49) - 61}{2 \cdot 1} = \frac{49 - 61}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательным, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время, за которое второй сварщик выполнит работу, равно 55 часов.

Теперь найдем время для первого сварщика:
$x + 11 = 55 + 11 = 66$ часов.

Ответ: первому сварщику потребуется 66 часов, а второму — 55 часов.