Страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

222. Решите уравнение:

а) $(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $x^2 + 3$. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 3$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 11t + 28 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 28. Корни легко подбираются: $t_1 = 4$ и $t_2 = 7$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного корня $t$.

1. При $t = 4$:

$x^2 + 3 = 4$

$x^2 = 4 - 3$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. При $t = 7$:

$x^2 + 3 = 7$

$x^2 = 7 - 3$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

б) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $t = x^2 - 4x$. Заменяем выражение в уравнении на $t$:

$t^2 + 9t + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно 20. Корни уравнения: $t_1 = -4$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену.

1. При $t = -4$:

$x^2 - 4x = -4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это выражение является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$.

Отсюда $x - 2 = 0$, следовательно, $x = 2$.

2. При $t = -5$:

$x^2 - 4x = -5$

$x^2 - 4x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $2$.

в) $(x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84$

Для решения этого уравнения также воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Подставим $t$ в уравнение:

$t(t - 5) = 84$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 - 5t = 84$

$t^2 - 5t - 84 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Теперь выполним обратную замену.

1. При $t = 12$:

$x^2 + x = 12$

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

2. При $t = -7$:

$x^2 + x = -7$

$x^2 + x + 7 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

В результате получаем два действительных корня для исходного уравнения.

Ответ: $-4; 3$.

223. Решите биквадратное уравнение:

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Для его решения используется метод замены переменной. Пусть $y = x^2$, тогда $y^2 = x^4$. При этом следует помнить, что новая переменная $y$ не может быть отрицательной, т.е. $y \ge 0$.

а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = x^2$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:

$z^2 - 5z - 36 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Для $z_1 = 9$: $x^2 = 9$. Корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. Для $z_2 = -4$: $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $\pm 3$.

б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = y^2$. Уравнение примет вид:

$z^2 - 6z + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $z_1 = 2$ и $z_2 = 4$.

Либо через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 = 2^2$.

$z_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$.

$z_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$.

Оба корня для $z$ положительны. Вернемся к переменной $y$.

1. Для $z_1 = 4$: $y^2 = 4$. Корни $y_{1,2} = \pm 2$.

2. Для $z_2 = 2$: $y^2 = 2$. Корни $y_{3,4} = \pm \sqrt{2}$.

Ответ: $\pm 2; \pm\sqrt{2}$.

в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = t^2$. Уравнение примет вид:

$z^2 + 10z + 25 = 0$.

Это выражение является полным квадратом:

$(z + 5)^2 = 0$.

Отсюда $z + 5 = 0$, следовательно, $z = -5$.

Вернемся к переменной $t$: $t^2 = -5$.

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = x^2$. Уравнение примет вид:

$4z^2 - 5z + 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

$z_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Оба корня для $z$ положительны. Вернемся к переменной $x$.

1. Для $z_1 = 1$: $x^2 = 1$. Корни $x_{1,2} = \pm 1$.

2. Для $z_2 = \frac{1}{4}$: $x^2 = \frac{1}{4}$. Корни $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm 1; \pm\frac{1}{2}$.

д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = x^2$. Уравнение примет вид:

$9z^2 - 9z + 2 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 = 3^2$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

$z_2 = \frac{9 - 3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Оба корня для $z$ положительны. Вернемся к переменной $x$.

1. Для $z_1 = \frac{2}{3}$: $x^2 = \frac{2}{3}$. Корни $x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2. Для $z_2 = \frac{1}{3}$: $x^2 = \frac{1}{3}$. Корни $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}; \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = y^2$. Уравнение примет вид:

$16z^2 - 8z + 1 = 0$.

Это выражение является полным квадратом:

$(4z - 1)^2 = 0$.

Отсюда $4z - 1 = 0$, следовательно, $z = \frac{1}{4}$.

Корень для $z$ положительный. Вернемся к переменной $y$:

$y^2 = \frac{1}{4}$.

Корни этого уравнения $y_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

224. Найдите корни биквадратного уравнения:

а) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $z = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $z \ge 0$.

Подставив $z$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$z^2 - 25z + 144 = 0$

Решим это уравнение относительно $z$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Оба корня ($z_1 = 16$ и $z_2 = 9$) удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $x^2 = z_1 = 16$. Отсюда $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

2. $x^2 = z_2 = 9$. Отсюда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-4; -3; 3; 4$.

б) $y^4 + 14y^2 + 48 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$z^2 + 14z + 48 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$z_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 2}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Оба полученных значения для $z$ являются отрицательными. Однако, по условию замены, $z = y^2$ не может быть отрицательным ($z \ge 0$).

Следовательно, уравнения $y^2 = -6$ и $y^2 = -8$ не имеют действительных корней.

Ответ: корней нет.

в) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = x^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$z^2 - 4z + 4 = 0$

Это уравнение можно свернуть по формуле квадрата разности:

$(z - 2)^2 = 0$

Отсюда $z - 2 = 0$, следовательно, $z = 2$.

Значение $z = 2$ удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = 2$

Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

г) $t^4 - 2t^2 - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = t^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$z^2 - 2z - 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни легко подбираются: $z_1 = 3$ и $z_2 = -1$.

Проверим условие $z \ge 0$:

1. $z_1 = 3$. Это значение удовлетворяет условию.

2. $z_2 = -1$. Это значение не удовлетворяет условию, так как $t^2$ не может быть отрицательным.

Рассматриваем только случай $z_1 = 3$. Вернемся к переменной $t$:

$t^2 = 3$

Отсюда $t = \pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

д) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = x^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$2z^2 - 9z + 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$z_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня ($z_1 = 4$ и $z_2 = \frac{1}{2}$) удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. $x^2 = z_1 = 4$. Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. $x^2 = z_2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. То есть $x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-2; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; 2$.

е) $5y^4 - 5y^2 + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$5z^2 - 5z + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 25 - 40 = -15$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $z$.

Следовательно, исходное биквадратное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

225. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) $y = x^4 - 5x^2 + 4$

1. Пересечение с осью ординат (осью $Oy$):

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^4 - 5 \cdot 0^2 + 4 = 4$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 4)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$):

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$, необходимо подставить $y=0$ в уравнение функции:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

Если $t=1$, то $x^2 = 1$, откуда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Если $t=4$, то $x^2 = 4$, откуда $x_3 = -2$ и $x_4 = 2$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; 4)$; с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

б) $y = x^4 + 3x^2 - 10$

1. Пересечение с осью $Oy$:

Подставим $x=0$ в уравнение:

$y = 0^4 + 3 \cdot 0^2 - 10 = -10$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -10)$.

2. Пересечение с осью $Ox$:

Подставим $y=0$ в уравнение:

$x^4 + 3x^2 - 10 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 + 3t - 10 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.

$t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.

$t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t_1=2$: $x^2 = 2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; -10)$; с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

в) $y = x^4 - 20x^2 + 100$

1. Пересечение с осью $Oy$:

Подставим $x=0$:

$y = 0^4 - 20 \cdot 0^2 + 100 = 100$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 100)$.

2. Пересечение с осью $Ox$:

Подставим $y=0$:

$x^4 - 20x^2 + 100 = 0$.

Заметим, что левая часть уравнения является формулой квадрата разности:

$(x^2 - 10)^2 = 0$.

$x^2 - 10 = 0$.

$x^2 = 10 \implies x = \pm \sqrt{10}$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; 100)$; с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

г) $y = 4x^4 + 16x^2$

1. Пересечение с осью $Oy$:

Подставим $x=0$:

$y = 4 \cdot 0^4 + 16 \cdot 0^2 = 0$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 0)$.

2. Пересечение с осью $Ox$:

Подставим $y=0$:

$4x^4 + 16x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:

$4x^2(x^2 + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$4x^2 = 0 \implies x = 0$.

или

$x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственная точка пересечения с осью $Ox$ — это $(0; 0)$.

Эта точка является точкой пересечения графика как с осью $Ox$, так и с осью $Oy$.

Ответ: точка пересечения с осями координат: $(0; 0)$.

226. Разложите на множители трёхчлен:

а) x⁴ – 47x² – 98;

б) x⁴ – 85x² + 1764.

а) $x^4 - 47x^2 - 98$

Данный трёхчлен является биквадратным. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$, тогда $x^4 = y^2$. Выражение примет вид квадратного трёхчлена: $y^2 - 47y - 98$.

Для разложения квадратного трёхчлена на множители по формуле $ay^2+by+c = a(y-y_1)(y-y_2)$, найдём его корни, решив уравнение $y^2 - 47y - 98 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-98) = 2209 + 392 = 2601$.
Найдём корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 \pm \sqrt{2601}}{2} = \frac{47 \pm 51}{2}$.

$y_1 = \frac{47 + 51}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{47 - 51}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь разложим трёхчлен с переменной $y$ на множители: $y^2 - 47y - 98 = (y - 49)(y - (-2)) = (y - 49)(y + 2)$.

Вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$: $(x^2 - 49)(x^2 + 2)$.

Первый множитель $(x^2 - 49)$ можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$. Второй множитель $(x^2 + 2)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как уравнение $x^2+2=0$ не имеет действительных корней.

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид: $(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)$.

б) $x^4 - 85x^2 + 1764$

Это также биквадратный трёхчлен. Сделаем замену переменной: $y = x^2$. Тогда получим квадратный трёхчлен $y^2 - 85y + 1764$.

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 85y + 1764 = 0$, чтобы разложить его на множители.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1764 = 7225 - 7056 = 169$.
Найдём корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{85 \pm 13}{2}$.

$y_1 = \frac{85 + 13}{2} = \frac{98}{2} = 49$

$y_2 = \frac{85 - 13}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $y^2 - 85y + 1764 = (y - 49)(y - 36)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$: $(x^2 - 49)(x^2 - 36)$.

Оба множителя являются разностями квадратов и могут быть разложены дальше по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$
$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x - 6)(x + 6)$

Собираем все множители вместе: $(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6)$.

227. Решите уравнение:

а) (x² – 1)(x² + 1) – 4(x² – 11) = 0;

б) 3x²(x – 1)(x + 1) – 10x² + 4 = 0.

а) $(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4(x^2 - 11) = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое произведение $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$ является разностью квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь раскроем вторую скобку:

$-4(x^2 - 11) = -4x^2 + 44$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$x^4 - 1 - 4x^2 + 44 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 - 4x^2 + 43 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 4t + 43 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 43 = 16 - 172 = -156$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

б) $3x^2(x - 1)(x + 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Сначала упростим произведение $(x - 1)(x + 1)$ по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

Подставим это в уравнение:

$3x^2(x^2 - 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^4 - 3x^2 - 10x^2 + 4 = 0$

$3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 - 13t + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 11}{6}$

$t_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Оба значения $t$ положительны, поэтому удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену $x^2 = t$ для каждого корня:

1) При $t = 4$: $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} \implies x = \pm 2$.

2) При $t = \frac{1}{3}$: $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

228. Решите уравнение:

а) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы вынести за скобки общие множители:

$(x^5 + x^4) - (6x^3 + 6x^2) + (5x + 5) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x + 1) - 6x^2(x + 1) + 5(x + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(x^4 - 6x^2 + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $x^4 - 6x^2 + 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Вернемся к замене:

При $y = 1$: $x^2 = 1 \implies x_2 = 1, x_3 = -1$.

При $y = 5$: $x^2 = 5 \implies x_4 = \sqrt{5}, x_5 = -\sqrt{5}$.

Объединив все найденные корни, получим множество решений.

Ответ: $x \in \{- \sqrt{5}, -1, 1, \sqrt{5}\}$

б) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^4) - (2x^3 - 2x^2) - (3x - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) - 3(x - 1) = 0$

Вынесем за скобку общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

2) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с единственным подходящим корнем $y = 3$:

$x^2 = 3 \implies x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$.

Объединив все найденные действительные корни, получим множество решений.

Ответ: $x \in \{-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}\}$

229. Найдите корни уравнения:

а)

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$y^7 - y^6 + 8y - 8 = 0$

Применим метод разложения на множители путем группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(y^7 - y^6) + (8y - 8) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$y^6(y - 1) + 8(y - 1) = 0$

Теперь вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(y-1)$:

$(y - 1)(y^6 + 8) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $y - 1 = 0$, откуда следует $y = 1$.

2) $y^6 + 8 = 0$, откуда следует $y^6 = -8$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как возведение любого действительного числа в четную степень ($6$) дает неотрицательный результат.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $1$.

б)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$u^7 - u^6 - 64u + 64 = 0$

Выполним разложение на множители методом группировки:

$(u^7 - u^6) - (64u - 64) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$u^6(u - 1) - 64(u - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(u-1)$ за скобки:

$(u - 1)(u^6 - 64) = 0$

Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $u - 1 = 0$, что дает корень $u = 1$.

2) $u^6 - 64 = 0$, что дает $u^6 = 64$. Извлекая корень шестой степени из обеих частей уравнения, получаем $u = \pm\sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6=64$, то $u = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $-2; 1; 2$.

230. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) 3x² – 25x – 28;

б) 2x² + 13x – 7.

Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$, необходимо найти корни соответствующего ему квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения, то разложение на множители будет выглядеть так: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

а) $3x^2 - 25x - 28$

Сначала решим квадратное уравнение $3x^2 - 25x - 28 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-25$, $c=-28$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 625 + 336 = 961$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-25) + 31}{2 \cdot 3} = \frac{25 + 31}{6} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-25) - 31}{2 \cdot 3} = \frac{25 - 31}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$3x^2 - 25x - 28 = 3(x - \frac{28}{3})(x - (-1)) = 3(x - \frac{28}{3})(x + 1)$.
Чтобы получить целые коэффициенты в множителях, внесём коэффициент $a=3$ в первую скобку:
$(3 \cdot x - 3 \cdot \frac{28}{3})(x + 1) = (3x - 28)(x + 1)$.
Ответ: $(3x - 28)(x + 1)$.

б) $2x^2 + 13x - 7$

Решим квадратное уравнение $2x^2 + 13x - 7 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=13$, $c=-7$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$2x^2 + 13x - 7 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-7)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 7)$.
Внесём коэффициент $a=2$ в первую скобку:
$(2 \cdot x - 2 \cdot \frac{1}{2})(x + 7) = (2x - 1)(x + 7)$.
Ответ: $(2x - 1)(x + 7)$.

231. Решите неравенство:

а) $13(5x - 1) - 15(4x + 2) < 0$
Раскроем скобки в левой части неравенства, умножая множители перед скобками на каждый член внутри скобок:
$13 \cdot 5x - 13 \cdot 1 - 15 \cdot 4x - 15 \cdot 2 < 0$
$65x - 13 - 60x - 30 < 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и постоянные члены):
$(65x - 60x) + (-13 - 30) < 0$
$5x - 43 < 0$
Перенесем число -43 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:
$5x < 43$
Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x < \frac{43}{5}$
Преобразуем дробь в десятичное число:
$x < 8.6$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 8.6)$.
Ответ: $(-\infty; 8.6)$.

б) $6(7 - 0.2x) - 5(8 - 0.4x) > 0$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$6 \cdot 7 - 6 \cdot 0.2x - 5 \cdot 8 - 5 \cdot (-0.4x) > 0$
$42 - 1.2x - 40 + 2x > 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-1.2x + 2x) + (42 - 40) > 0$
$0.8x + 2 > 0$
Перенесем число 2 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком:
$0.8x > -2$
Разделим обе части неравенства на 0.8. Так как 0.8 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{-2}{0.8}$
Выполним деление:
$x > -2.5$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-2.5; +\infty)$.
Ответ: $(-2.5; +\infty)$.