Номер 227, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

227. Решите уравнение:

а) (x² – 1)(x² + 1) – 4(x² – 11) = 0;

б) 3x²(x – 1)(x + 1) – 10x² + 4 = 0.

а) $(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 4(x^2 - 11) = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое произведение $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$ является разностью квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь раскроем вторую скобку:

$-4(x^2 - 11) = -4x^2 + 44$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$x^4 - 1 - 4x^2 + 44 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 - 4x^2 + 43 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 4t + 43 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 43 = 16 - 172 = -156$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

б) $3x^2(x - 1)(x + 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Сначала упростим произведение $(x - 1)(x + 1)$ по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

Подставим это в уравнение:

$3x^2(x^2 - 1) - 10x^2 + 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^4 - 3x^2 - 10x^2 + 4 = 0$

$3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 - 13t + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 11}{6}$

$t_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Оба значения $t$ положительны, поэтому удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену $x^2 = t$ для каждого корня:

1) При $t = 4$: $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} \implies x = \pm 2$.

2) При $t = \frac{1}{3}$: $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.