Номер 223, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

223. Решите биквадратное уравнение:

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Для его решения используется метод замены переменной. Пусть $y = x^2$, тогда $y^2 = x^4$. При этом следует помнить, что новая переменная $y$ не может быть отрицательной, т.е. $y \ge 0$.

а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = x^2$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:

$z^2 - 5z - 36 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Для $z_1 = 9$: $x^2 = 9$. Корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. Для $z_2 = -4$: $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $\pm 3$.

б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = y^2$. Уравнение примет вид:

$z^2 - 6z + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $z_1 = 2$ и $z_2 = 4$.

Либо через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 = 2^2$.

$z_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$.

$z_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$.

Оба корня для $z$ положительны. Вернемся к переменной $y$.

1. Для $z_1 = 4$: $y^2 = 4$. Корни $y_{1,2} = \pm 2$.

2. Для $z_2 = 2$: $y^2 = 2$. Корни $y_{3,4} = \pm \sqrt{2}$.

Ответ: $\pm 2; \pm\sqrt{2}$.

в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = t^2$. Уравнение примет вид:

$z^2 + 10z + 25 = 0$.

Это выражение является полным квадратом:

$(z + 5)^2 = 0$.

Отсюда $z + 5 = 0$, следовательно, $z = -5$.

Вернемся к переменной $t$: $t^2 = -5$.

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = x^2$. Уравнение примет вид:

$4z^2 - 5z + 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

$z_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Оба корня для $z$ положительны. Вернемся к переменной $x$.

1. Для $z_1 = 1$: $x^2 = 1$. Корни $x_{1,2} = \pm 1$.

2. Для $z_2 = \frac{1}{4}$: $x^2 = \frac{1}{4}$. Корни $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm 1; \pm\frac{1}{2}$.

д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = x^2$. Уравнение примет вид:

$9z^2 - 9z + 2 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 = 3^2$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

$z_2 = \frac{9 - 3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Оба корня для $z$ положительны. Вернемся к переменной $x$.

1. Для $z_1 = \frac{2}{3}$: $x^2 = \frac{2}{3}$. Корни $x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2. Для $z_2 = \frac{1}{3}$: $x^2 = \frac{1}{3}$. Корни $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}; \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $z = y^2$. Уравнение примет вид:

$16z^2 - 8z + 1 = 0$.

Это выражение является полным квадратом:

$(4z - 1)^2 = 0$.

Отсюда $4z - 1 = 0$, следовательно, $z = \frac{1}{4}$.

Корень для $z$ положительный. Вернемся к переменной $y$:

$y^2 = \frac{1}{4}$.

Корни этого уравнения $y_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.