Номер 230, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

230. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) 3x² – 25x – 28;

б) 2x² + 13x – 7.

Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$, необходимо найти корни соответствующего ему квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения, то разложение на множители будет выглядеть так: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

а) $3x^2 - 25x - 28$

Сначала решим квадратное уравнение $3x^2 - 25x - 28 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-25$, $c=-28$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 625 + 336 = 961$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-25) + 31}{2 \cdot 3} = \frac{25 + 31}{6} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-25) - 31}{2 \cdot 3} = \frac{25 - 31}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$3x^2 - 25x - 28 = 3(x - \frac{28}{3})(x - (-1)) = 3(x - \frac{28}{3})(x + 1)$.
Чтобы получить целые коэффициенты в множителях, внесём коэффициент $a=3$ в первую скобку:
$(3 \cdot x - 3 \cdot \frac{28}{3})(x + 1) = (3x - 28)(x + 1)$.
Ответ: $(3x - 28)(x + 1)$.

б) $2x^2 + 13x - 7$

Решим квадратное уравнение $2x^2 + 13x - 7 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=13$, $c=-7$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$2x^2 + 13x - 7 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-7)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 7)$.
Внесём коэффициент $a=2$ в первую скобку:
$(2 \cdot x - 2 \cdot \frac{1}{2})(x + 7) = (2x - 1)(x + 7)$.
Ответ: $(2x - 1)(x + 7)$.