Номер 224, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Целое уравнение и его корни. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 224, страница 78.

Условие.

224. Найдите корни биквадратного уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $z = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $z \ge 0$.

Подставив $z$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$z^2 - 25z + 144 = 0$

Решим это уравнение относительно $z$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Оба корня ($z_1 = 16$ и $z_2 = 9$) удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $x^2 = z_1 = 16$. Отсюда $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

2. $x^2 = z_2 = 9$. Отсюда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-4; -3; 3; 4$.

б) $y^4 + 14y^2 + 48 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$z^2 + 14z + 48 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$z_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 2}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Оба полученных значения для $z$ являются отрицательными. Однако, по условию замены, $z = y^2$ не может быть отрицательным ($z \ge 0$).

Следовательно, уравнения $y^2 = -6$ и $y^2 = -8$ не имеют действительных корней.

Ответ: корней нет.

в) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = x^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$z^2 - 4z + 4 = 0$

Это уравнение можно свернуть по формуле квадрата разности:

$(z - 2)^2 = 0$

Отсюда $z - 2 = 0$, следовательно, $z = 2$.

Значение $z = 2$ удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = 2$

Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

г) $t^4 - 2t^2 - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = t^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$z^2 - 2z - 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни легко подбираются: $z_1 = 3$ и $z_2 = -1$.

Проверим условие $z \ge 0$:

1. $z_1 = 3$. Это значение удовлетворяет условию.

2. $z_2 = -1$. Это значение не удовлетворяет условию, так как $t^2$ не может быть отрицательным.

Рассматриваем только случай $z_1 = 3$. Вернемся к переменной $t$:

$t^2 = 3$

Отсюда $t = \pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

д) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = x^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$2z^2 - 9z + 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$z_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня ($z_1 = 4$ и $z_2 = \frac{1}{2}$) удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. $x^2 = z_1 = 4$. Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. $x^2 = z_2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. То есть $x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-2; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; 2$.

е) $5y^4 - 5y^2 + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$5z^2 - 5z + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 25 - 40 = -15$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $z$.

Следовательно, исходное биквадратное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.