Номер 217, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Целое уравнение и его корни. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 217, страница 77.

Условие.

217. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y^3 - 6y = 0$

Вынесем общий множитель y за скобки:

$y(y^2 - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $y = 0$

2) $y^2 - 6 = 0 \Rightarrow y^2 = 6 \Rightarrow y = \pm\sqrt{6}$

Ответ: $-\sqrt{6}; 0; \sqrt{6}$.

б) $6x^4 + 3,6x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(6x^2 + 3,6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $6x^2 + 3,6 = 0 \Rightarrow 6x^2 = -3,6 \Rightarrow x^2 = -0,6$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у уравнения только один корень.

Ответ: $0$.

в) $x^3 + 3x = 3,5x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - 3,5x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель x за скобки:

$x(x^2 - 3,5x + 3) = 0$

Отсюда либо $x=0$, либо $x^2 - 3,5x + 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3,5x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12,25 - 12 = 0,25$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3,5 \pm \sqrt{0,25}}{2} = \frac{3,5 \pm 0,5}{2}$

$x_1 = \frac{3,5 - 0,5}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

$x_2 = \frac{3,5 + 0,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $0; 1,5; 2$.

г) $x^3 - 0,1x = 0,3x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - 0,3x^2 - 0,1x = 0$

Вынесем общий множитель x за скобки:

$x(x^2 - 0,3x - 0,1) = 0$

Отсюда либо $x=0$, либо $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-0,3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,1) = 0,09 + 0,4 = 0,49$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,3 \pm \sqrt{0,49}}{2} = \frac{0,3 \pm 0,7}{2}$

$x_1 = \frac{0,3 - 0,7}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$

$x_2 = \frac{0,3 + 0,7}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $-0,2; 0; 0,5$.

д) $9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0$

Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:

$(9x^3 - 18x^2) + (-x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$9x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(9x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

2) $9x^2 - 1 = 0 \Rightarrow 9x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 2$.

е) $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0$

Вынесем общий множитель y за скобки:

$y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$

Один корень $y_1 = 0$. Решим уравнение $y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$.

Сгруппируем члены:

$(y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0$

$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$:

$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$

1) $y - 1 = 0 \Rightarrow y_2 = 1$

2) $y^2 - 16 = 0 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm4$. Отсюда $y_3 = 4$ и $y_4 = -4$.

Ответ: $-4; 0; 1; 4$.

ж) $p^3 - p^2 = p - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$p^3 - p^2 - p + 1 = 0$

Сгруппируем члены:

$(p^3 - p^2) - (p - 1) = 0$

$p^2(p - 1) - 1(p - 1) = 0$

$(p - 1)(p^2 - 1) = 0$

Разложим второй множитель по формуле разности квадратов:

$(p - 1)(p - 1)(p + 1) = 0$

$(p - 1)^2(p + 1) = 0$

1) $p - 1 = 0 \Rightarrow p = 1$

2) $p + 1 = 0 \Rightarrow p = -1$

Ответ: $-1; 1$.

з) $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель x за скобки:

$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$

Один корень $x_1 = 0$. Решим уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.

Сгруппируем члены:

$(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$

$x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$

$(x - 3)(x^2 - 1) = 0$

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

2) $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$. Отсюда $x_3 = 1$ и $x_4 = -1$.

Ответ: $-1; 0; 1; 3$.