Номер 218, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 13. Целое уравнение и его корни - номер 218, страница 77.

Условие.

218. Решите уравнение:

а) 3x³ – x² + 18x – 6 = 0;

б) 2x⁴ – 18x² = 5x³ – 45x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - x^2) + (18x - 6) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой скобки вынесем $x^2$, а из второй — $6$:

$x^2(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(3x - 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(3x - 1)(x^2 + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

2) $x^2 + 6 = 0$

$x^2 = -6$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) $2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$2x^4 - 5x^3 - 18x^2 + 45x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^3 - 5x^2 - 18x + 45) = 0$

Это дает нам первый корень $x_1 = 0$.

Теперь решим кубическое уравнение, оставшееся в скобках:

$2x^3 - 5x^2 - 18x + 45 = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(2x^3 - 5x^2) - (18x - 45) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $x^2$, а из второй — $9$:

$x^2(2x - 5) - 9(2x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 5)$ за скобки:

$(2x - 5)(x^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов и раскладывается на $(x - 3)(x + 3)$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$(2x - 5)(x - 3)(x + 3) = 0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим остальные корни:

1) $2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$

2) $x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$

3) $x + 3 = 0 \implies x_4 = -3$

Собрав все найденные корни, получаем полный набор решений исходного уравнения.

Ответ: $-3; 0; 2.5; 3$.