Номер 215, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 13. Целое уравнение и его корни - номер 215, страница 77.

Условие.

215. Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на 513 см³. Чему равно ребро куба?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$ см. Тогда его объём $V_1$ составляет $a^3$ см?.

Согласно условию, ребро куба увеличили на 3 см. Новая длина ребра стала $(a + 3)$ см.

Объём нового куба $V_2$ равен $(a + 3)^3$ см?.

Разница между новым и первоначальным объёмом составляет 513 см?. На основе этого можно составить уравнение:

$V_2 - V_1 = 513$

$(a + 3)^3 - a^3 = 513$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3 = 513$

$a^3 + 9a^2 + 27a + 27 - a^3 = 513$

Упростим выражение, сократив $a^3$ и $-a^3$:

$9a^2 + 27a + 27 = 513$

Перенесём 513 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$9a^2 + 27a + 27 - 513 = 0$

$9a^2 + 27a - 486 = 0$

Все коэффициенты этого уравнения делятся на 9. Разделим обе части уравнения на 9 для его упрощения:

$a^2 + 3a - 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой для нахождения корней через дискриминант. По теореме Виета, нам нужны два числа, произведение которых равно -54, а сумма равна -3. Эти числа — 6 и -9.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 6$ и $a_2 = -9$.

Так как длина ребра куба не может быть отрицательной величиной, корень $a_2 = -9$ не является решением задачи. Значит, длина ребра исходного куба равна 6 см.

Проверим найденное решение:

Первоначальный объём куба с ребром 6 см: $V_1 = 6^3 = 216$ см?.

Новое ребро: $6 + 3 = 9$ см.

Новый объём: $V_2 = 9^3 = 729$ см?.

Увеличение объёма: $V_2 - V_1 = 729 - 216 = 513$ см?.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 6 см.