Номер 209, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

209. Функция задана формулой y = x² + px + q. Найдите значения p и q, если известно, что:

а) нули функции — числа 3 и 4;

б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0);

в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6.

а) Нули функции — это значения $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Если $x_1$ и $x_2$ — нули функции $y = x^2 + px + q$, то они являются корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$). Согласно этой теореме, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

По условию, нулями функции являются числа 3 и 4, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Подставим эти значения в формулы:

$-p = 3 + 4 = 7$

Отсюда находим $p$: $p = -7$.

Теперь найдем $q$:

$q = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: $p = -7$, $q = 12$.

б) Если график функции проходит через определенные точки, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции $y = x^2 + px + q$.

Используем первую точку $(0; 6)$. Подставим $x = 0$ и $y = 6$ в уравнение функции:

$6 = 0^2 + p \cdot 0 + q$

$6 = q$

Теперь мы знаем, что $q=6$. Используем вторую точку $(2; 0)$. Подставим $x = 2$, $y = 0$ и найденное значение $q = 6$ в уравнение функции:

$0 = 2^2 + p \cdot 2 + 6$

$0 = 4 + 2p + 6$

$0 = 10 + 2p$

$2p = -10$

$p = -5$

Ответ: $p = -5$, $q = 6$.

в) Функция $y = x^2 + px + q$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=1$, $b=p$. По условию, наименьшее значение достигается при $x = 6$, следовательно, абсцисса вершины $x_v = 6$.

$x_v = -\frac{p}{2 \cdot 1} = -\frac{p}{2}$

Приравниваем и находим $p$:

$6 = -\frac{p}{2}$

$p = -12$

Наименьшее значение функции равно 24, это означает, что ордината вершины $y_v = 24$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(6; 24)$. Подставим координаты этой точки и найденное значение $p=-12$ в уравнение функции, чтобы найти $q$:

$y = x^2 + px + q$

$24 = 6^2 + (-12) \cdot 6 + q$

$24 = 36 - 72 + q$

$24 = -36 + q$

$q = 24 + 36$

$q = 60$

Ответ: $p = -12$, $q = 60$.