Номер 205, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 205, страница 70.

Условие.

205. Постройте график функции и опишите её свойства:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = x^2 + 2x - 15$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.
  Ордината вершины: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16$.
  Вершина находится в точке $(-1; -16)$. Ось симметрии: $x = -1$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 15 = -15$. Точка пересечения $(0; -15)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x - 15 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, находим $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения $(-5; 0)$ и $(3; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-16; +\infty)$.
• Нули функции: $x = -5$, $x = 3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5; 3)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = -1$, минимальное значение функции $y_{min} = -16$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-1; -16)$, ветвями вверх. Нули функции: $x=-5$ и $x=3$. Пересечение с осью OY в точке $(0; -15)$.

б) $y = 0,5x^2 - 3x + 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 0,5 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-3) / (2 \cdot 0,5) = 3 / 1 = 3$.
  Ордината вершины: $y_0 = 0,5(3)^2 - 3(3) + 4 = 4,5 - 9 + 4 = -0,5$.
  Вершина находится в точке $(3; -0,5)$. Ось симметрии: $x = 3$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 0,5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка пересечения $(0; 4)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $0,5x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$. Корни: $x_{1,2} = (3 \pm \sqrt{1}) / (2 \cdot 0,5) = 3 \pm 1$. $x_1 = 2$, $x_2 = 4$. Точки пересечения $(2; 0)$ и $(4; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-0,5; +\infty)$.
• Нули функции: $x = 2$, $x = 4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (2; 4)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 3$, минимальное значение функции $y_{min} = -0,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(3; -0,5)$, ветвями вверх. Нули функции: $x=2$ и $x=4$. Пересечение с осью OY в точке $(0; 4)$.

в) $y = 4 - 0,5x^2$

Это квадратичная функция ($y = -0,5x^2 + 4$), ее график — парабола. Коэффициент $a = -0,5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -0 / (2 \cdot (-0,5)) = 0$.
  Ордината вершины: $y_0 = 4 - 0,5(0)^2 = 4$.
  Вершина находится в точке $(0; 4)$. Ось симметрии: $x = 0$ (ось Oy).
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy: точка $(0; 4)$ (совпадает с вершиной).
  С осью Ox (при $y=0$): $4 - 0,5x^2 = 0 \implies 0,5x^2 = 4 \implies x^2 = 8$. Корни: $x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$. Точки пересечения $(-2\sqrt{2}; 0)$ и $(2\sqrt{2}; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.
• Нули функции: $x = -2\sqrt{2}$, $x = 2\sqrt{2}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 0$, максимальное значение функции $y_{max} = 4$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(0; 4)$, ветвями вниз. Нули функции: $x = \pm 2\sqrt{2}$. Пересечение с осью OY (вершина) в точке $(0; 4)$.

г) $y = 6x - 2x^2$

Это квадратичная функция ($y = -2x^2 + 6x$), ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -6 / (2 \cdot (-2)) = -6 / (-4) = 1,5$.
  Ордината вершины: $y_0 = 6(1,5) - 2(1,5)^2 = 9 - 2(2,25) = 9 - 4,5 = 4,5$.
  Вершина находится в точке $(1,5; 4,5)$. Ось симметрии: $x = 1,5$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 6 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $6x - 2x^2 = 0 \implies 2x(3 - x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки пересечения $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4,5]$.
• Нули функции: $x = 0$, $x = 3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1,5]$ и убывает на промежутке $[1,5; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 1,5$, максимальное значение функции $y_{max} = 4,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,5; 4,5)$, ветвями вниз. Нули функции: $x=0$ и $x=3$. Пересечение с осями в точках $(0;0)$ и $(3;0)$.

д) $y = (2x - 7)(x + 1)$

Раскроем скобки: $y = 2x^2 + 2x - 7x - 7 = 2x^2 - 5x - 7$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-5) / (2 \cdot 2) = 5 / 4 = 1,25$.
  Ордината вершины: $y_0 = 2(1,25)^2 - 5(1,25) - 7 = 2(1,5625) - 6,25 - 7 = 3,125 - 13,25 = -10,125$.
  Вершина находится в точке $(1,25; -10,125)$. Ось симметрии: $x = 1,25$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = -7$. Точка пересечения $(0; -7)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $(2x - 7)(x + 1) = 0$. Корни: $2x-7=0 \implies x_1 = 3,5$ и $x+1=0 \implies x_2 = -1$. Точки пересечения $(-1; 0)$ и $(3,5; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-10,125; +\infty)$.
• Нули функции: $x = -1$, $x = 3,5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3,5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 3,5)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1,25]$ и возрастает на промежутке $[1,25; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 1,25$, минимальное значение функции $y_{min} = -10,125$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,25; -10,125)$, ветвями вверх. Нули функции: $x=-1$ и $x=3,5$. Пересечение с осью OY в точке $(0; -7)$.

е) $y = (2 - x)(x + 6)$

Раскроем скобки: $y = 2x + 12 - x^2 - 6x = -x^2 - 4x + 12$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = 4 / (-2) = -2$.
  Ордината вершины: $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$.
  Вершина находится в точке $(-2; 16)$. Ось симметрии: $x = -2$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 12$. Точка пересечения $(0; 12)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $(2 - x)(x + 6) = 0$. Корни: $2-x=0 \implies x_1 = 2$ и $x+6=0 \implies x_2 = -6$. Точки пересечения $(-6; 0)$ и $(2; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 16]$.
• Нули функции: $x = -6$, $x = 2$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-6; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = -2$, максимальное значение функции $y_{max} = 16$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-2; 16)$, ветвями вниз. Нули функции: $x=-6$ и $x=2$. Пересечение с осью OY в точке $(0; 12)$.