Номер 206, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 206, страница 70.

Условие.

206. Используя график, найдите множество значений функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения множества значений квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо определить, куда направлены ветви параболы (графика этой функции) и найти координаты её вершины $(x_0, y_0)$. Множество значений функции — это проекция её графика на ось ординат (ось OY).

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_0$. Множество значений в этом случае: $[y_0, +\infty)$.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции равно ординате вершины $y_0$. Множество значений в этом случае: $(-\infty, y_0]$.

Координаты вершины параболы вычисляются по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а затем $y_0 = y(x_0)$.

а) $y = 3x^2 - 0,5x + \frac{1}{16}$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 3$, $b = -0,5$, $c = \frac{1}{16}$. Так как $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине. Множество значений: $[y_0, +\infty)$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,5}{2 \cdot 3} = \frac{0,5}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12}$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = 3(\frac{1}{12})^2 - 0,5(\frac{1}{12}) + \frac{1}{16} = 3 \cdot \frac{1}{144} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{3}{144} - \frac{1}{24} + \frac{1}{16}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 48: $y_0 = \frac{1}{48} - \frac{2}{48} + \frac{3}{48} = \frac{1-2+3}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.

Наименьшее значение функции равно $\frac{1}{24}$.

Ответ: $[\frac{1}{24}, +\infty)$.

б) $y = 2x^2 + 1,2x + 2$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 1,2$, $c = 2$. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине. Множество значений: $[y_0, +\infty)$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1,2}{2 \cdot 2} = -\frac{1,2}{4} = -0,3$.

Найдем ординату вершины: $y_0 = 2(-0,3)^2 + 1,2(-0,3) + 2 = 2(0,09) - 0,36 + 2 = 0,18 - 0,36 + 2 = 1,82$.

Наименьшее значение функции равно $1,82$.

Ответ: $[1,82, +\infty)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 5,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{1}{2}$, $b = 4$, $c = -5,5$. Так как $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Множество значений: $(-\infty, y_0]$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4$.

Найдем ординату вершины: $y_0 = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) - 5,5 = -\frac{1}{2}(16) + 16 - 5,5 = -8 + 16 - 5,5 = 2,5$.

Наибольшее значение функции равно $2,5$.

Ответ: $(-\infty, 2,5]$.

г) $y = -3x^2 - 2x - 4\frac{2}{3}$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = -2$, $c = -4\frac{2}{3} = -\frac{14}{3}$. Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Множество значений: $(-\infty, y_0]$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

Найдем ординату вершины: $y_0 = -3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) - \frac{14}{3} = -3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{14}{3}$.

$y_0 = \frac{-1+2-14}{3} = \frac{-13}{3} = -4\frac{1}{3}$.

Наибольшее значение функции равно $-4\frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty, -4\frac{1}{3}]$.