Номер 208, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 208, страница 70.

Условие.

208. Задайте формулой какую-либо квадратичную функцию, которая:

а) в промежутке (–∞; –3] убывает, а в промежутке [–3; +∞) возрастает;

б) в промежутке (–∞; 6] возрастает, а в промежутке [6; +∞) убывает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Общий вид квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. Характер монотонности (возрастание или убывание) функции зависит от знака старшего коэффициента $a$ и от абсциссы вершины параболы $x_v$.

Если функция сначала убывает, а затем возрастает, это означает, что ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Для этого старший коэффициент должен быть положительным ($a > 0$). Точка, в которой убывание сменяется возрастанием, является вершиной параболы.

Из условия следует, что функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = -3$.

Таким образом, нам нужно найти любую квадратичную функцию, для которой $a > 0$ и $x_v = -3$. Удобно использовать формулу квадратичной функции, записанную через координаты вершины $(x_v, y_v)$: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Подставим $x_v = -3$. Для $a$ и $y_v$ можем выбрать любые подходящие значения. Возьмем простейшие: пусть $a = 1$ (условие $a > 0$ выполнено) и $y_v = 0$ (вертикальный сдвиг не влияет на промежутки монотонности).

Получаем следующую функцию:
$y = 1 \cdot (x - (-3))^2 + 0$
$y = (x + 3)^2$
Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид:
$y = x^2 + 6x + 9$

Ответ: $y = x^2 + 6x + 9$.

б)

Если функция сначала возрастает, а затем убывает, это означает, что ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Для этого старший коэффициент должен быть отрицательным ($a < 0$). Точка, в которой возрастание сменяется убыванием, является вершиной параболы.

Из условия следует, что функция возрастает на промежутке $(-\infty; 6]$ и убывает на промежутке $[6; +\infty)$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = 6$.

Таким образом, нам нужно найти любую квадратичную функцию, для которой $a < 0$ и $x_v = 6$. Снова используем формулу $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Подставим $x_v = 6$. Возьмем простейшие значения для остальных параметров: пусть $a = -1$ (условие $a < 0$ выполнено) и $y_v = 0$.

Получаем следующую функцию:
$y = -1 \cdot (x - 6)^2 + 0$
$y = -(x - 6)^2$
Раскроем скобки:
$y = -(x^2 - 12x + 36)$
$y = -x^2 + 12x - 36$

Ответ: $y = -x^2 + 12x - 36$.