Страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

198. Постройте график функции:

а) f(x) = |x² – 2x|;

б) f(x) = x² – 2|x|.

а) $f(x) = |x^2 - 2x|$

Чтобы построить график функции вида $y = |g(x)|$, необходимо сначала построить график функции $y = g(x)$, а затем ту его часть, которая расположена ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений.

1. Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = x^2 - 2x$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх.

2. Найдем ключевые точки параболы $y = x^2 - 2x$.Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $x^2 - 2x = 0$, или $x(x - 2) = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.Координаты вершины параболы: абсцисса $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, ордината $y_в = g(1) = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.

3. Построив эскиз параболы $y = x^2 - 2x$, мы видим, что она находится ниже оси Ox на интервале $(0, 2)$. Для построения графика $f(x) = |x^2 - 2x|$, мы оставляем без изменений части параболы на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, \infty)$, а часть параболы на интервале $(0, 2)$ симметрично отражаем относительно оси Ox. При этом вершина $(1, -1)$ переходит в точку $(1, 1)$.

4. Итоговый график состоит из двух ветвей параболы $y = x^2 - 2x$ на промежутках $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$ и дуги параболы $y = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$ на промежутке $(0, 2)$. График имеет точки касания (излома) с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$ и локальный максимум в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y=x^2-2x$, у которой часть, находящаяся под осью Ox (на интервале $(0, 2)$), отражена симметрично вверх относительно оси Ox.

б) $f(x) = x^2 - 2|x|$

Данная функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy). В связи с этим, можно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид: $f(x) = x^2 - 2x$.

2. Мы уже знаем из пункта а), что график $y = x^2 - 2x$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -1)$ и пересечениями с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$. Для $x \ge 0$ строим эту параболу: она начинается в точке $(0, 0)$, опускается до вершины $(1, -1)$, а затем поднимается вверх, проходя через $(2, 0)$.

3. Теперь отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить его для $x < 0$. Вершина $(1, -1)$ отразится в точку $(-1, -1)$, а точка пересечения $(2, 0)$ — в точку $(-2, 0)$. Точка $(0,0)$ останется на месте.

4. Итоговый график состоит из двух частей парабол: $y = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$ и $y = x^2 + 2x$ для $x < 0$. График имеет форму, похожую на букву 'W', с двумя минимумами (вершинами) в точках $(1, -1)$ и $(-1, -1)$ и точкой излома (локальным максимумом) в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$. Полный график получается путем добавления к этой части её зеркального отражения относительно оси Oy.

199. Постройте график функции:

а) Для построения графика функции $y = x|x|$ необходимо раскрыть модуль. По определению модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$, и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Разобьем функцию на два случая:

1. При $x \ge 0$, функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$. Эта часть графика является ветвью параболы $y=x^2$, направленной вверх, и расположена в первой координатной четверти (включая начало координат).

2. При $x < 0$, функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$. Эта часть графика является ветвью параболы $y=-x^2$, направленной вниз, и расположена в третьей координатной четверти.

Таким образом, график функции $y=x|x|$ состоит из двух соединенных в начале координат частей парабол.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y=x^2$ для $x \ge 0$ и части параболы $y=-x^2$ для $x < 0$.

б) Рассмотрим функцию $y = -\frac{x^3}{|x|}$.

Прежде всего, найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Упростим выражение функции, раскрыв модуль для двух случаев:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = -\frac{x^3}{x} = -x^2$. Это ветвь параболы $y=-x^2$, расположенная в четвертой координатной четверти.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -\frac{x^3}{-x} = x^2$. Это ветвь параболы $y=x^2$, расположенная во второй координатной четверти.

Поскольку $x \ne 0$, точка $(0,0)$ не принадлежит графику функции. Эта точка называется "выколотой".

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x > 0$ это часть параболы $y=-x^2$, а для $x < 0$ это часть параболы $y=x^2$. Точка $(0,0)$ является выколотой.

200. При каких значениях c график функции y = x² – 6x + c расположен выше прямой:

а) y = 4;

б) y = –1?

Чтобы график функции $y = x^2 - 6x + c$ был расположен выше некоторой горизонтальной прямой, необходимо, чтобы наименьшее значение этой функции было больше, чем значение $y$ на этой прямой.

Функция $y = x^2 - 6x + c$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Следовательно, наименьшее значение функции достигается в ее вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = 1$, $b = -6$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем координату $y_0$, подставив значение $x_0 = 3$ в уравнение функции. Это и будет наименьшее значение функции.

$y_0 = (3)^2 - 6(3) + c = 9 - 18 + c = c - 9$

Теперь мы можем использовать это значение для решения подпунктов задачи.

а)

График функции должен быть расположен выше прямой $y = 4$. Это означает, что наименьшее значение функции должно быть строго больше 4.

$y_0 > 4$

Подставим найденное выражение для $y_0$:

$c - 9 > 4$

Решим неравенство относительно $c$:

$c > 4 + 9$

$c > 13$

Ответ: $c > 13$

б)

График функции должен быть расположен выше прямой $y = -1$. Это означает, что наименьшее значение функции должно быть строго больше -1.

$y_0 > -1$

Подставим найденное выражение для $y_0$:

$c - 9 > -1$

Решим неравенство относительно $c$:

$c > -1 + 9$

$c > 8$

Ответ: $c > 8$

201. При каких значениях b и c вершиной параболы y = x² + bx + c является точка (6; –12)?

Чтобы найти значения коэффициентов b и c, воспользуемся информацией о вершине параболы.

Уравнение параболы задано в общем виде $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, поэтому уравнение имеет вид $y = x^2 + bx + c$.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ связаны с коэффициентами уравнения. В частности, абсцисса (координата x) вершины вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Согласно условию, вершиной параболы является точка $(6; -12)$. Отсюда следует, что абсцисса вершины $x_0 = 6$ и ордината вершины $y_0 = -12$.

Подставим известные значения $a=1$ и $x_0=6$ в формулу для абсциссы вершины, чтобы найти коэффициент b:

$6 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

$6 = -\frac{b}{2}$

Выразим из этого уравнения b, умножив обе части на -2:

$b = 6 \cdot (-2) = -12$

Теперь, когда мы нашли значение b, уравнение параболы можно записать как $y = x^2 - 12x + c$.

Поскольку точка $(6; -12)$ является вершиной параболы, она должна принадлежать этой параболе, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим $x = 6$ и $y = -12$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент c:

$-12 = (6)^2 - 12 \cdot 6 + c$

Выполним вычисления:

$-12 = 36 - 72 + c$

$-12 = -36 + c$

Теперь выразим c:

$c = -12 + 36$

$c = 24$

Таким образом, искомые значения коэффициентов $b = -12$ и $c = 24$.

Ответ: $b = -12, c = 24$.

202. Найдите значение a, при котором осью симметрии параболы y = ax² – 16x + 1 является прямая x = 4.

Уравнение параболы в общем виде записывается как $y = Ax^2 + Bx + C$. Ось симметрии такой параболы представляет собой вертикальную прямую, которая проходит через вершину параболы. Абсцисса вершины $x_v$ (и, соответственно, уравнение оси симметрии) вычисляется по формуле:

$x_v = -\frac{B}{2A}$

В нашем случае дано уравнение параболы $y = ax^2 - 16x + 1$. Сравнивая его с общим видом, мы можем определить коэффициенты:

• $A = a$
• $B = -16$
• $C = 1$

Подставим эти коэффициенты в формулу для нахождения оси симметрии:

$x_v = -\frac{-16}{2a} = \frac{16}{2a} = \frac{8}{a}$

Согласно условию задачи, осью симметрии является прямая $x = 4$. Это означает, что абсцисса вершины параболы равна 4. Приравняем полученное нами выражение для $x_v$ к этому значению:

$\frac{8}{a} = 4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $a$. Для этого умножим обе части уравнения на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что необходимо для существования параболы):

$8 = 4a$

Разделим обе части на 4:

$a = \frac{8}{4}$

$a = 2$

Проверим: если $a=2$, уравнение параболы $y = 2x^2 - 16x + 1$. Ось симметрии $x = -\frac{-16}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$, что соответствует условию.

Ответ: 2

203. При каких значениях a и с квадратичная функция y = ax² + c имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули квадратичной функции $y = ax^2 + c$, необходимо решить уравнение $ax^2 + c = 0$.

По определению, функция является квадратичной, если старший коэффициент не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Решим уравнение относительно $x$:

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = -c$

Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Это уравнение имеет действительные решения для $x$ только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно (больше или равно нулю), так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, должно выполняться условие:

$-\frac{c}{a} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{c}{a} \le 0$

Это неравенство выполняется в двух случаях:

1. Если числитель $c = 0$. Тогда $\frac{0}{a} = 0$, и неравенство $0 \le 0$ выполняется при любом $a \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $ax^2=0$, откуда $x=0$. Функция имеет один нуль.

2. Если числитель $c \neq 0$. Тогда дробь $\frac{c}{a}$ будет отрицательной, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это означает, что:

• либо $a > 0$ и $c < 0$;
• либо $a < 0$ и $c > 0$.

В этих случаях функция имеет два различных нуля: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Все эти условия ( $c=0$, или $a$ и $c$ имеют разные знаки) можно объединить в одно: произведение $a \cdot c$ должно быть меньше или равно нулю.

$ac \le 0$

Таким образом, с учётом обязательного условия $a \neq 0$, квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули, если ее коэффициенты $a$ и $c$ удовлетворяют следующим условиям.

Ответ: Квадратичная функция $y = ax^2 + c$ имеет нули при $a \neq 0$ и $ac \le 0$. Это равносильно двум случаям:
1) $a > 0$ и $c \le 0$;
2) $a < 0$ и $c \ge 0$.

204. Найдите значения a и b, при которых график функции y = ax² + bx – 18 проходит через точки M(1; 2) и N(2; 10).

Поскольку график функции $y = ax^2 + bx - 18$ проходит через точки $M(1; 2)$ и $N(2; 10)$, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Это позволяет нам составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $b$.

1. Подставим координаты точки $M(1; 2)$ в уравнение. При $x=1$, $y=2$:
$2 = a \cdot (1)^2 + b \cdot 1 - 18$
$2 = a + b - 18$
Перенесем свободный член в левую часть:
$a + b = 2 + 18$
$a + b = 20$

2. Подставим координаты точки $N(2; 10)$ в уравнение. При $x=2$, $y=10$:
$10 = a \cdot (2)^2 + b \cdot 2 - 18$
$10 = 4a + 2b - 18$
Перенесем свободный член в левую часть:
$4a + 2b = 10 + 18$
$4a + 2b = 28$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:
$2a + b = 14$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} a + b = 20 \\ 2a + b = 14 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(2a + b) - (a + b) = 14 - 20$
$2a + b - a - b = -6$
$a = -6$

Теперь, зная значение $a$, найдем $b$, подставив $a = -6$ в первое уравнение ($a + b = 20$):
$-6 + b = 20$
$b = 20 + 6$
$b = 26$

Таким образом, мы определили, что значения коэффициентов равны $a = -6$ и $b = 26$.

Ответ: $a = -6, b = 26$.

205. Постройте график функции и опишите её свойства:

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.
  Ордината вершины: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16$.
  Вершина находится в точке $(-1; -16)$. Ось симметрии: $x = -1$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 15 = -15$. Точка пересечения $(0; -15)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x - 15 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, находим $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения $(-5; 0)$ и $(3; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-16; +\infty)$.
• Нули функции: $x = -5$, $x = 3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5; 3)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = -1$, минимальное значение функции $y_{min} = -16$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-1; -16)$, ветвями вверх. Нули функции: $x=-5$ и $x=3$. Пересечение с осью OY в точке $(0; -15)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 0,5 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-3) / (2 \cdot 0,5) = 3 / 1 = 3$.
  Ордината вершины: $y_0 = 0,5(3)^2 - 3(3) + 4 = 4,5 - 9 + 4 = -0,5$.
  Вершина находится в точке $(3; -0,5)$. Ось симметрии: $x = 3$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 0,5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка пересечения $(0; 4)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $0,5x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$. Корни: $x_{1,2} = (3 \pm \sqrt{1}) / (2 \cdot 0,5) = 3 \pm 1$. $x_1 = 2$, $x_2 = 4$. Точки пересечения $(2; 0)$ и $(4; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-0,5; +\infty)$.
• Нули функции: $x = 2$, $x = 4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (2; 4)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 3$, минимальное значение функции $y_{min} = -0,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(3; -0,5)$, ветвями вверх. Нули функции: $x=2$ и $x=4$. Пересечение с осью OY в точке $(0; 4)$.

Это квадратичная функция ($y = -0,5x^2 + 4$), ее график — парабола. Коэффициент $a = -0,5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -0 / (2 \cdot (-0,5)) = 0$.
  Ордината вершины: $y_0 = 4 - 0,5(0)^2 = 4$.
  Вершина находится в точке $(0; 4)$. Ось симметрии: $x = 0$ (ось Oy).
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy: точка $(0; 4)$ (совпадает с вершиной).
  С осью Ox (при $y=0$): $4 - 0,5x^2 = 0 \implies 0,5x^2 = 4 \implies x^2 = 8$. Корни: $x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$. Точки пересечения $(-2\sqrt{2}; 0)$ и $(2\sqrt{2}; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.
• Нули функции: $x = -2\sqrt{2}$, $x = 2\sqrt{2}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 0$, максимальное значение функции $y_{max} = 4$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(0; 4)$, ветвями вниз. Нули функции: $x = \pm 2\sqrt{2}$. Пересечение с осью OY (вершина) в точке $(0; 4)$.

Это квадратичная функция ($y = -2x^2 + 6x$), ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -6 / (2 \cdot (-2)) = -6 / (-4) = 1,5$.
  Ордината вершины: $y_0 = 6(1,5) - 2(1,5)^2 = 9 - 2(2,25) = 9 - 4,5 = 4,5$.
  Вершина находится в точке $(1,5; 4,5)$. Ось симметрии: $x = 1,5$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 6 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $6x - 2x^2 = 0 \implies 2x(3 - x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки пересечения $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4,5]$.
• Нули функции: $x = 0$, $x = 3$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1,5]$ и убывает на промежутке $[1,5; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 1,5$, максимальное значение функции $y_{max} = 4,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,5; 4,5)$, ветвями вниз. Нули функции: $x=0$ и $x=3$. Пересечение с осями в точках $(0;0)$ и $(3;0)$.

Раскроем скобки: $y = 2x^2 + 2x - 7x - 7 = 2x^2 - 5x - 7$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-5) / (2 \cdot 2) = 5 / 4 = 1,25$.
  Ордината вершины: $y_0 = 2(1,25)^2 - 5(1,25) - 7 = 2(1,5625) - 6,25 - 7 = 3,125 - 13,25 = -10,125$.
  Вершина находится в точке $(1,25; -10,125)$. Ось симметрии: $x = 1,25$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = -7$. Точка пересечения $(0; -7)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $(2x - 7)(x + 1) = 0$. Корни: $2x-7=0 \implies x_1 = 3,5$ и $x+1=0 \implies x_2 = -1$. Точки пересечения $(-1; 0)$ и $(3,5; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-10,125; +\infty)$.
• Нули функции: $x = -1$, $x = 3,5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3,5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1; 3,5)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1,25]$ и возрастает на промежутке $[1,25; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 1,25$, минимальное значение функции $y_{min} = -10,125$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1,25; -10,125)$, ветвями вверх. Нули функции: $x=-1$ и $x=3,5$. Пересечение с осью OY в точке $(0; -7)$.

Раскроем скобки: $y = 2x + 12 - x^2 - 6x = -x^2 - 4x + 12$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

• Координаты вершины параболы:
  Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = 4 / (-2) = -2$.
  Ордината вершины: $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$.
  Вершина находится в точке $(-2; 16)$. Ось симметрии: $x = -2$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 12$. Точка пересечения $(0; 12)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $(2 - x)(x + 6) = 0$. Корни: $2-x=0 \implies x_1 = 2$ и $x+6=0 \implies x_2 = -6$. Точки пересечения $(-6; 0)$ и $(2; 0)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 16]$.
• Нули функции: $x = -6$, $x = 2$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-6; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = -2$, максимальное значение функции $y_{max} = 16$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-2; 16)$, ветвями вниз. Нули функции: $x=-6$ и $x=2$. Пересечение с осью OY в точке $(0; 12)$.

206. Используя график, найдите множество значений функции:

Для нахождения множества значений квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо определить, куда направлены ветви параболы (графика этой функции) и найти координаты её вершины $(x_0, y_0)$. Множество значений функции — это проекция её графика на ось ординат (ось OY).

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_0$. Множество значений в этом случае: $[y_0, +\infty)$.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции равно ординате вершины $y_0$. Множество значений в этом случае: $(-\infty, y_0]$.

Координаты вершины параболы вычисляются по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а затем $y_0 = y(x_0)$.

а) $y = 3x^2 - 0,5x + \frac{1}{16}$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 3$, $b = -0,5$, $c = \frac{1}{16}$. Так как $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине. Множество значений: $[y_0, +\infty)$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,5}{2 \cdot 3} = \frac{0,5}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12}$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = 3(\frac{1}{12})^2 - 0,5(\frac{1}{12}) + \frac{1}{16} = 3 \cdot \frac{1}{144} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{3}{144} - \frac{1}{24} + \frac{1}{16}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 48: $y_0 = \frac{1}{48} - \frac{2}{48} + \frac{3}{48} = \frac{1-2+3}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.

Наименьшее значение функции равно $\frac{1}{24}$.

Ответ: $[\frac{1}{24}, +\infty)$.

б) $y = 2x^2 + 1,2x + 2$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 1,2$, $c = 2$. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине. Множество значений: $[y_0, +\infty)$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1,2}{2 \cdot 2} = -\frac{1,2}{4} = -0,3$.

Найдем ординату вершины: $y_0 = 2(-0,3)^2 + 1,2(-0,3) + 2 = 2(0,09) - 0,36 + 2 = 0,18 - 0,36 + 2 = 1,82$.

Наименьшее значение функции равно $1,82$.

Ответ: $[1,82, +\infty)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 5,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{1}{2}$, $b = 4$, $c = -5,5$. Так как $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Множество значений: $(-\infty, y_0]$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4$.

Найдем ординату вершины: $y_0 = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) - 5,5 = -\frac{1}{2}(16) + 16 - 5,5 = -8 + 16 - 5,5 = 2,5$.

Наибольшее значение функции равно $2,5$.

Ответ: $(-\infty, 2,5]$.

г) $y = -3x^2 - 2x - 4\frac{2}{3}$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = -2$, $c = -4\frac{2}{3} = -\frac{14}{3}$. Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине. Множество значений: $(-\infty, y_0]$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

Найдем ординату вершины: $y_0 = -3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) - \frac{14}{3} = -3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{14}{3}$.

$y_0 = \frac{-1+2-14}{3} = \frac{-13}{3} = -4\frac{1}{3}$.

Наибольшее значение функции равно $-4\frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty, -4\frac{1}{3}]$.

207. Пусть h (м) — высота, на которой находится брошенный с земли вверх мяч, t (с) — время полёта мяча. Зависимость h от t выражается формулой h = 24t – 4,9t². Какой наибольшей высоты достиг мяч? В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался? Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Какой наибольшей высоты достиг мяч?

Зависимость высоты $h$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) задана формулой $h(t) = 24t - 4.9t^2$. Эта функция является квадратичной, а её график — парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-4.9$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что у функции есть максимальное значение, которое достигается в вершине параболы. Это значение и есть наибольшая высота, которой достигнет мяч.

Сначала найдём время $t_{верш}$, в которое мяч достигнет максимальной высоты. Координата $t$ вершины параболы вида $at^2+bt+c$ вычисляется по формуле $t_{верш} = -b/(2a)$. В нашем случае, $a = -4.9$ и $b = 24$.

$t_{верш} = \frac{-24}{2 \cdot (-4.9)} = \frac{-24}{-9.8} = \frac{24}{9.8} = \frac{240}{98} = \frac{120}{49}$ c.

Теперь, зная время подъёма, мы можем вычислить максимальную высоту $h_{max}$, подставив значение $t_{верш}$ в исходную формулу:

$h_{max} = h(\frac{120}{49}) = 24 \cdot \frac{120}{49} - 4.9 \cdot (\frac{120}{49})^2$
$h_{max} = \frac{2880}{49} - \frac{49}{10} \cdot \frac{14400}{49^2} = \frac{2880}{49} - \frac{14400}{10 \cdot 49}$
$h_{max} = \frac{2880}{49} - \frac{1440}{49} = \frac{2880 - 1440}{49} = \frac{1440}{49}$ м.

Приближенное значение максимальной высоты: $h_{max} \approx 29.39$ м.

Ответ: наибольшая высота, которой достиг мяч, равна $\frac{1440}{49}$ м (примерно 29,39 м).

В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался?

Мяч поднимается вверх с момента броска ($t=0$) до момента достижения максимальной высоты. Как мы вычислили ранее, время подъёма составляет $t_{верш} = \frac{120}{49}$ с. Таким образом, мяч поднимался в промежутке времени от $0$ до $\frac{120}{49}$ с.

Мяч начинает опускаться после достижения максимальной высоты и продолжает падение до момента приземления. Чтобы определить этот промежуток, нам нужно знать общее время полёта. Мяч упадёт на землю, когда его высота $h$ снова станет равна нулю.

$h(t) = 24t - 4.9t^2 = 0$
$t(24 - 4.9t) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ (момент броска) и $t_2$, которое находится из уравнения $24 - 4.9t = 0$.
$4.9t = 24 \implies t_2 = \frac{24}{4.9} = \frac{240}{49}$ с.

Это полное время полёта мяча. Следовательно, мяч опускался с момента достижения вершины ($t = \frac{120}{49}$ с) до момента падения на землю ($t = \frac{240}{49}$ с).

Ответ: мяч поднимался в промежутке времени $(0; \frac{120}{49})$ с и опускался в промежутке $(\frac{120}{49}; \frac{240}{49})$ с.

Через сколько секунд после броска он упал на землю?

Мяч упал на землю в момент времени $t > 0$, когда его высота $h$ стала равна нулю. Как было показано в решении предыдущего вопроса, для нахождения этого времени нужно решить уравнение $h(t) = 0$.

$24t - 4.9t^2 = 0$
$t(24 - 4.9t) = 0$

Один корень $t_1 = 0$ соответствует началу движения. Второй корень $t_2$ дает время, когда мяч снова оказался на земле:

$24 - 4.9t = 0$
$4.9t = 24$
$t = \frac{24}{4.9} = \frac{240}{49}$ c.

Приближенное значение времени полёта: $t \approx 4.90$ с.

Ответ: мяч упал на землю через $\frac{240}{49}$ секунд (примерно через 4,90 с) после броска.

208. Задайте формулой какую-либо квадратичную функцию, которая:

а) в промежутке (–∞; –3] убывает, а в промежутке [–3; +∞) возрастает;

б) в промежутке (–∞; 6] возрастает, а в промежутке [6; +∞) убывает.

а)

Общий вид квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. Характер монотонности (возрастание или убывание) функции зависит от знака старшего коэффициента $a$ и от абсциссы вершины параболы $x_v$.

Если функция сначала убывает, а затем возрастает, это означает, что ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Для этого старший коэффициент должен быть положительным ($a > 0$). Точка, в которой убывание сменяется возрастанием, является вершиной параболы.

Из условия следует, что функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = -3$.

Таким образом, нам нужно найти любую квадратичную функцию, для которой $a > 0$ и $x_v = -3$. Удобно использовать формулу квадратичной функции, записанную через координаты вершины $(x_v, y_v)$: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Подставим $x_v = -3$. Для $a$ и $y_v$ можем выбрать любые подходящие значения. Возьмем простейшие: пусть $a = 1$ (условие $a > 0$ выполнено) и $y_v = 0$ (вертикальный сдвиг не влияет на промежутки монотонности).

Получаем следующую функцию:
$y = 1 \cdot (x - (-3))^2 + 0$
$y = (x + 3)^2$
Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид:
$y = x^2 + 6x + 9$

Ответ: $y = x^2 + 6x + 9$.

б)

Если функция сначала возрастает, а затем убывает, это означает, что ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Для этого старший коэффициент должен быть отрицательным ($a < 0$). Точка, в которой возрастание сменяется убыванием, является вершиной параболы.

Из условия следует, что функция возрастает на промежутке $(-\infty; 6]$ и убывает на промежутке $[6; +\infty)$. Следовательно, абсцисса вершины параболы $x_v = 6$.

Таким образом, нам нужно найти любую квадратичную функцию, для которой $a < 0$ и $x_v = 6$. Снова используем формулу $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Подставим $x_v = 6$. Возьмем простейшие значения для остальных параметров: пусть $a = -1$ (условие $a < 0$ выполнено) и $y_v = 0$.

Получаем следующую функцию:
$y = -1 \cdot (x - 6)^2 + 0$
$y = -(x - 6)^2$
Раскроем скобки:
$y = -(x^2 - 12x + 36)$
$y = -x^2 + 12x - 36$

Ответ: $y = -x^2 + 12x - 36$.

209. Функция задана формулой y = x² + px + q. Найдите значения p и q, если известно, что:

а) нули функции — числа 3 и 4;

б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0);

в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6.

а) Нули функции — это значения $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Если $x_1$ и $x_2$ — нули функции $y = x^2 + px + q$, то они являются корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$). Согласно этой теореме, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

По условию, нулями функции являются числа 3 и 4, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Подставим эти значения в формулы:

$-p = 3 + 4 = 7$

Отсюда находим $p$: $p = -7$.

Теперь найдем $q$:

$q = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: $p = -7$, $q = 12$.

б) Если график функции проходит через определенные точки, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции $y = x^2 + px + q$.

Используем первую точку $(0; 6)$. Подставим $x = 0$ и $y = 6$ в уравнение функции:

$6 = 0^2 + p \cdot 0 + q$

$6 = q$

Теперь мы знаем, что $q=6$. Используем вторую точку $(2; 0)$. Подставим $x = 2$, $y = 0$ и найденное значение $q = 6$ в уравнение функции:

$0 = 2^2 + p \cdot 2 + 6$

$0 = 4 + 2p + 6$

$0 = 10 + 2p$

$2p = -10$

$p = -5$

Ответ: $p = -5$, $q = 6$.

в) Функция $y = x^2 + px + q$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=1$, $b=p$. По условию, наименьшее значение достигается при $x = 6$, следовательно, абсцисса вершины $x_v = 6$.

$x_v = -\frac{p}{2 \cdot 1} = -\frac{p}{2}$

Приравниваем и находим $p$:

$6 = -\frac{p}{2}$

$p = -12$

Наименьшее значение функции равно 24, это означает, что ордината вершины $y_v = 24$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(6; 24)$. Подставим координаты этой точки и найденное значение $p=-12$ в уравнение функции, чтобы найти $q$:

$y = x^2 + px + q$

$24 = 6^2 + (-12) \cdot 6 + q$

$24 = 36 - 72 + q$

$24 = -36 + q$

$q = 24 + 36$

$q = 60$

Ответ: $p = -12$, $q = 60$.