Номер 198, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 198, страница 70.

Условие.

198. Постройте график функции:

а) f(x) = |x² – 2x|;

б) f(x) = x² – 2|x|.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $f(x) = |x^2 - 2x|$

Чтобы построить график функции вида $y = |g(x)|$, необходимо сначала построить график функции $y = g(x)$, а затем ту его часть, которая расположена ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений.

1. Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = x^2 - 2x$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх.

2. Найдем ключевые точки параболы $y = x^2 - 2x$.Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $x^2 - 2x = 0$, или $x(x - 2) = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.Координаты вершины параболы: абсцисса $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, ордината $y_в = g(1) = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.

3. Построив эскиз параболы $y = x^2 - 2x$, мы видим, что она находится ниже оси Ox на интервале $(0, 2)$. Для построения графика $f(x) = |x^2 - 2x|$, мы оставляем без изменений части параболы на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, \infty)$, а часть параболы на интервале $(0, 2)$ симметрично отражаем относительно оси Ox. При этом вершина $(1, -1)$ переходит в точку $(1, 1)$.

4. Итоговый график состоит из двух ветвей параболы $y = x^2 - 2x$ на промежутках $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$ и дуги параболы $y = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$ на промежутке $(0, 2)$. График имеет точки касания (излома) с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$ и локальный максимум в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y=x^2-2x$, у которой часть, находящаяся под осью Ox (на интервале $(0, 2)$), отражена симметрично вверх относительно оси Ox.

б) $f(x) = x^2 - 2|x|$

Данная функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy). В связи с этим, можно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид: $f(x) = x^2 - 2x$.

2. Мы уже знаем из пункта а), что график $y = x^2 - 2x$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -1)$ и пересечениями с осью Ox в точках $x=0$ и $x=2$. Для $x \ge 0$ строим эту параболу: она начинается в точке $(0, 0)$, опускается до вершины $(1, -1)$, а затем поднимается вверх, проходя через $(2, 0)$.

3. Теперь отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить его для $x < 0$. Вершина $(1, -1)$ отразится в точку $(-1, -1)$, а точка пересечения $(2, 0)$ — в точку $(-2, 0)$. Точка $(0,0)$ останется на месте.

4. Итоговый график состоит из двух частей парабол: $y = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$ и $y = x^2 + 2x$ для $x < 0$. График имеет форму, похожую на букву 'W', с двумя минимумами (вершинами) в точках $(1, -1)$ и $(-1, -1)$ и точкой излома (локальным максимумом) в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$. Полный график получается путем добавления к этой части её зеркального отражения относительно оси Oy.