Номер 193, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 193, страница 69.

Условие.

193. При каких значениях a областью значений функции y = ax² является промежуток: а) [0; +∞); б) (–∞; 0]?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данная функция $y = ax^2$ является квадратичной, её график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Область значений (множество всех возможных значений $y$) зависит от направления ветвей параболы, которое, в свою очередь, определяется знаком коэффициента $a$.

а) Найдём значения $a$, при которых областью значений является промежуток $[0; +\infty)$.
Это означает, что все значения функции должны быть неотрицательными: $y \ge 0$.
Рассмотрим выражение $ax^2$. Так как $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$), для того чтобы произведение $ax^2$ было также больше или равно нулю, необходимо, чтобы коэффициент $a$ был положительным.
Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Её вершина $(0, 0)$ является точкой минимума. Минимальное значение функции равно $0$, а при удалении $x$ от нуля значения функции неограниченно возрастают. Таким образом, область значений действительно будет $[0; +\infty)$.
Если $a=0$, то функция превращается в $y=0$. Её область значений состоит из единственного числа $\{0\}$, что не является промежутком $[0; +\infty)$.
Следовательно, для того чтобы область значений была $[0; +\infty)$, необходимо, чтобы $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

б) Найдём значения $a$, при которых областью значений является промежуток $(-\infty; 0]$.
Это означает, что все значения функции должны быть неположительными: $y \le 0$.
Так как $x^2 \ge 0$, для того чтобы произведение $ax^2$ было меньше или равно нулю, необходимо, чтобы коэффициент $a$ был отрицательным.
Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Её вершина $(0, 0)$ является точкой максимума. Максимальное значение функции равно $0$, а при удалении $x$ от нуля значения функции неограниченно убывают. Таким образом, область значений будет $(-\infty; 0]$.
Как и в предыдущем случае, если $a=0$, область значений $\{0\}$ не совпадает с требуемым промежутком.
Следовательно, для того чтобы область значений была $(-\infty; 0]$, необходимо, чтобы $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.