Номер 190, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 190, страница 69.

Условие.

190. Постройте график функции и опишите её свойства:

Решение 1.

Решение 8.

а) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

1. Упрощение функции и нахождение области определения.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.
Теперь, при условии $x \neq 3$, мы можем сократить дробь: $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$.

2. Построение графика.
Графиком функции $f(x) = x + 3$ является прямая линия. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = 3$, на этой прямой будет "выколотая" точка. Найдем координаты этой точки. Абсцисса $x = 3$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенную функцию: $y = 3 + 3 = 6$. Следовательно, точка с координатами $(3, 6)$ не принадлежит графику.
Для построения прямой $y = x + 3$ достаточно двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• Если $y = 0$, то $x + 3 = 0$, откуда $x = -3$. Получаем точку $(-3, 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$, с выколотой точкой $(3, 6)$.

3. Свойства функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
• Область значений: Так как $y = x + 3$ и $x \neq 3$, то $y \neq 3 + 3 = 6$. Таким образом, область значений $E(f) = (-\infty; 6) \cup (6; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Область определения функции несимметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x + 3 = 0$, то есть при $x = -3$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x + 3 > 0 \implies x > -3$. С учетом области определения: $x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
  $f(x) < 0$ при $x + 3 < 0 \implies x < -3$. С учетом области определения: $x \in (-\infty; -3)$.
• Промежутки монотонности: Угловой коэффициент прямой $y = x + 3$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, функция возрастает на всей области определения, т.е. на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(3, 6)$. Свойства функции перечислены выше.

---

б) $f(x) = \frac{x^2 - 6x - 7}{x + 1}$

1. Упрощение функции и нахождение области определения.
Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Упростим выражение. Разложим числитель $x^2 - 6x - 7$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно -7. Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$. Следовательно, $x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x - (-1)) = (x - 7)(x + 1)$.
При условии $x \neq -1$ сократим дробь: $f(x) = \frac{(x - 7)(x + 1)}{x + 1} = x - 7$.

2. Построение графика.
Графиком функции $f(x) = x - 7$ является прямая линия. Так как исходная функция не определена в точке $x = -1$, на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты. Абсцисса $x = -1$. Ордината: $y = -1 - 7 = -8$. Значит, точка $(-1, -8)$ не принадлежит графику.
Для построения прямой $y = x - 7$ найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 7 = -7$. Получаем точку $(0, -7)$.
• Если $y = 0$, то $x - 7 = 0$, откуда $x = 7$. Получаем точку $(7, 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, -7)$ и $(7, 0)$, с выколотой точкой $(-1, -8)$.

3. Свойства функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
• Область значений: Так как $y = x - 7$ и $x \neq -1$, то $y \neq -1 - 7 = -8$. Область значений $E(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Область определения функции несимметрична относительно нуля, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x - 7 = 0$, то есть при $x = 7$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x - 7 > 0 \implies x > 7$. С учетом области определения: $x \in (7; +\infty)$.
  $f(x) < 0$ при $x - 7 < 0 \implies x < 7$. С учетом области определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 7)$.
• Промежутки монотонности: Угловой коэффициент прямой $y = x - 7$ равен $1 > 0$, значит, функция возрастает на всей области определения, т.е. на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 7$ с выколотой точкой $(-1, -8)$. Свойства функции перечислены выше.