Номер 189, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 189, страница 69.

Условие.

189. Обладает ли функция y = f (x) свойством чётности или свойством нечётности, если:

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы определить, обладает ли функция свойством чётности или нечётности, необходимо проверить её область определения на симметричность относительно начала координат и найти значение функции $f(-x)$.
- Функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
- Функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x^3 - 7x$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 7(-x) = -x^3 + 7x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -x^3 + 7x = -(x^3 - 7x) = -f(x)$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

б) $f(x) = \frac{x^2 + 9}{x}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть, $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 9}{-x} = \frac{x^2 + 9}{-x} = -\frac{x^2 + 9}{x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -\frac{x^2 + 9}{x} = -f(x)$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.