Номер 183, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 183, страница 68.

Условие.

183. Постройте в одной системе координат графики функций y = $\frac{1}{3}$x² и y = - $\frac{1}{3}$x². Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой функции.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения задачи необходимо построить графики двух квадратичных функций и определить для каждой из них промежутки, на которых они возрастают и убывают.

Построение графиков и анализ функции $y = \frac{1}{3}x^2$

1. Анализ функции:
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = \frac{1}{3}$. Так как $a > 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Ось симметрии параболы — ось OY.

2. Построение графика:
Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе, составив таблицу значений. Выберем значения $x$, удобные для вычисления (кратные 3).

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$. Точка $(3, 3)$.
• при $x = -3$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$. Точка $(-3, 3)$.
• при $x = 6$, $y = \frac{1}{3} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Точка $(6, 12)$.
• при $x = -6$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-6)^2 = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. Точка $(-6, 12)$.

Отметив эти точки в системе координат и соединив их плавной линией, получим график параболы.

3. Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы в точке $x=0$ разделяет график на две части.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ (слева от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ (справа от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: для функции $y = \frac{1}{3}x^2$ промежуток возрастания — $[0, +\infty)$, промежуток убывания — $(-\infty, 0]$.

Построение графиков и анализ функции $y = -\frac{1}{3}x^2$

1. Анализ функции:
Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, график функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы также находится в точке $(0, 0)$. Ось симметрии — ось OY. График этой функции симметричен графику $y = \frac{1}{3}x^2$ относительно оси OX.

2. Построение графика:
Составим таблицу значений:

• при $x = 0$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$. Точка $(3, -3)$.
• при $x = -3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$. Точка $(-3, -3)$.
• при $x = 6$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 6^2 = -\frac{1}{3} \cdot 36 = -12$. Точка $(6, -12)$.
• при $x = -6$, $y = -\frac{1}{3} \cdot (-6)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 36 = -12$. Точка $(-6, -12)$.

Построим вторую параболу по этим точкам в той же системе координат.

3. Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы в точке $x=0$.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ (слева от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ (справа от вершины) с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: для функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ промежуток возрастания — $(-\infty, 0]$, промежуток убывания — $[0, +\infty)$.