Номер 184, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 184, страница 68.

Условие.

184. Изобразите схематически в одной системе координат графики функций у = ax² для случая: a ‹ 0; a › 0. Перечислите свойства функции для каждого случая.

Решение 1.

Решение 8.

Графиком функции $y = ax^2$ является парабола, вершина которой находится в начале координат, точке $(0, 0)$. Осью симметрии параболы является ось ординат (ось $Oy$). Направление ветвей параболы и ее "крутизна" зависят от коэффициента $a$.

Ниже представлен схематический вид графиков для случаев $a > 0$ (синий цвет) и $a < 0$ (красный цвет).

a > 0

Если коэффициент $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

Основные свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: все неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y > 0$) при всех $x \neq 0$.

6. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Максимального значения не существует.

Ответ: При $a > 0$ график — парабола с ветвями вверх и вершиной в $(0,0)$. Свойства: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, $y_{min}=0$ при $x=0$.

a < 0

Если коэффициент $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. График функции расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.

Основные свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: все неположительные числа, $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна ($y < 0$) при всех $x \neq 0$.

6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Минимального значения не существует.

Ответ: При $a < 0$ график — парабола с ветвями вниз и вершиной в $(0,0)$. Свойства: $D(y)=(-\infty; +\infty)$, $E(y)=(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, $y_{max}=0$ при $x=0$.