Номер 178, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 178, страница 67.

Условие.

178. Установите соответствие между функциями и их графиками, представленными на рисунке 39.

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы установить соответствие между функциями и их графиками, мы проанализируем каждую функцию, определив ее ключевые характеристики, такие как асимптоты и точки пересечения с осями координат, а затем сопоставим эти характеристики с представленными графиками.

Данные функции:

1. $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

2. $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$

Обе функции являются дробно-рациональными. Их графики — гиперболы.

а)

Рассмотрим график, представленный на рисунке а).
1. Асимптоты. На графике мы видим вертикальную асимптоту $x = 1$ и горизонтальную асимптоту $y = 1$.
- Вертикальная асимптота $x=1$ возникает, когда знаменатель дроби равен нулю. У обеих функций знаменатель $(x-1)$, который обращается в ноль при $x=1$. Так что по этому признаку подходят обе функции.
- Горизонтальная асимптота для функции вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ находится как $y = \frac{a}{c}$.
Для функции $y = \frac{x+2}{x-1}$ асимптота $y = \frac{1}{1} = 1$.
Для функции $y = \frac{-x-2}{x-1}$ асимптота $y = \frac{-1}{1} = -1$.
Горизонтальная асимптота $y=1$ на графике а) соответствует первой функции.
2. Точки пересечения с осями. Для проверки найдем точки пересечения графика функции $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ с осями координат.
- При $x = 0$, $y = \frac{0 + 2}{0 - 1} = -2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -2)$.
- При $y = 0$, $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$, что означает $x + 2 = 0$, следовательно $x = -2$. Точка пересечения с осью OX: $(-2, 0)$.
Обе эти точки мы видим на графике а).
Следовательно, график а) соответствует функции $y = \frac{x + 2}{x - 1}$.
Ответ: $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

б)

Рассмотрим график, представленный на рисунке б).
1. Асимптоты. На этом графике вертикальная асимптота также $x = 1$, а горизонтальная асимптота — $y = -1$.
- Как мы уже определили, горизонтальная асимптота $y=-1$ соответствует функции $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$.
2. Точки пересечения с осями. Проверим точки пересечения для функции $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$.
- При $x = 0$, $y = \frac{-0 - 2}{0 - 1} = \frac{-2}{-1} = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
- При $y = 0$, $\frac{-x - 2}{x - 1} = 0$, что означает $-x - 2 = 0$, следовательно $x = -2$. Точка пересечения с осью OX: $(-2, 0)$.
Обе эти точки соответствуют точкам на графике б).
Следовательно, график б) соответствует функции $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$.
Ответ: $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$