Номер 174, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 174, страница 67.

Условие.

174. Докажите, что графику функции y =$\frac{2x+5}{x-3}$ принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать утверждение и найти точки с натуральными координатами на графике функции $y = \frac{2x + 5}{x - 3}$, мы должны найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют данному уравнению. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Сначала преобразуем выражение для функции, выделив в дроби целую часть. Для этого в числителе искусственно создадим выражение, кратное знаменателю: $2x + 5 = 2x - 6 + 6 + 5 = 2(x - 3) + 11$.

Теперь функция примет вид: $y = \frac{2(x - 3) + 11}{x - 3} = \frac{2(x - 3)}{x - 3} + \frac{11}{x - 3} = 2 + \frac{11}{x - 3}$.

По условию, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами. Из полученного выражения следует, что $y$ будет целым числом, если дробь $\frac{11}{x - 3}$ будет целым числом. Это возможно только тогда, когда знаменатель $(x - 3)$ является делителем числа 11.

Число 11 является простым, поэтому его целыми делителями являются только числа $1, -1, 11, -11$. Рассмотрим последовательно все четыре возможных случая.

Случай 1: $x - 3 = 1$. В этом случае $x = 4$. Это натуральное число. Вычисляем $y$: $y = 2 + \frac{11}{1} = 13$. Это также натуральное число. Таким образом, точка $(4, 13)$ является решением.

Случай 2: $x - 3 = 11$. В этом случае $x = 14$. Это натуральное число. Вычисляем $y$: $y = 2 + \frac{11}{11} = 3$. Это также натуральное число. Таким образом, точка $(14, 3)$ является решением.

Случай 3: $x - 3 = -1$. В этом случае $x = 2$. Это натуральное число. Вычисляем $y$: $y = 2 + \frac{11}{-1} = -9$. Это число не является натуральным, поэтому данное решение не подходит.

Случай 4: $x - 3 = -11$. В этом случае $x = -8$. Это число не является натуральным, поэтому данное решение не подходит.

Итак, мы перебрали все возможные варианты, при которых координаты точки могут быть целыми числами. Только в двух из них и абсцисса, и ордината оказались натуральными числами. Это доказывает, что графику функции принадлежат лишь две точки с натуральными координатами.

Ответ: Графику функции принадлежат ровно две точки с натуральными координатами: $(4, 13)$ и $(14, 3)$.