Номер 4, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 4, страница 62.

Условие.

4. Что представляет собой график квадратичной функции y = ax² + bx + c?

На примере функции y = 2x² – 12x + 16 покажите, как строят график квадратичной функции.

Решение 1.

Решение 8.

Что представляет собой график квадратичной функции y = ax? + bx + c?

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) является кривая, которая называется параболой.

Основные свойства параболы зависят от коэффициентов $a$, $b$ и $c$:

• Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего минимума (если $a > 0$) или максимума (если $a < 0$). Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = y(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$.
• Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Ее уравнение: $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$. Координаты этой точки — $(0, c)$.

Ответ: Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола.

На примере функции y = 2x? - 12x + 16 покажите, как строят график квадратичной функции.

Чтобы построить график функции $y = 2x^2 - 12x + 16$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=2$, $b=-12$.
   $x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
   Для нахождения ординаты вершины $y_0$ подставим значение $x_0=3$ в уравнение функции:
   $y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + 16 = 2 \cdot 9 - 36 + 16 = 18 - 36 + 16 = -2$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
   С осью Oy:
   Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
   $y(0) = 2(0)^2 - 12(0) + 16 = 16$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0, 16)$.
   С осью Ox (нули функции):
   Для этого нужно решить уравнение $y=0$, то есть $2x^2 - 12x + 16 = 0$.
   Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 - 6x + 8 = 0$.
   Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
   Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$.
   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Найти несколько дополнительных точек для большей точности построения.
   Возьмем значения $x$, симметричные относительно оси симметрии $x=3$. У нас уже есть точка $(0, 16)$. Симметричная ей точка относительно прямой $x=3$ будет иметь абсциссу $x = 3 + (3-0) = 6$. Проверим значение функции в этой точке:
   $y(6) = 2(6)^2 - 12(6) + 16 = 2 \cdot 36 - 72 + 16 = 72 - 72 + 16 = 16$.
   Следовательно, у нас есть точка $(6, 16)$.
   Возьмем еще одну точку, например, $x=1$.
   $y(1) = 2(1)^2 - 12(1) + 16 = 2 - 12 + 16 = 6$.
   Точка $(1, 6)$. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x = 3 + (3-1) = 5$.
   $y(5) = 2(5)^2 - 12(5) + 16 = 2 \cdot 25 - 60 + 16 = 50 - 60 + 16 = 6$.
   Следовательно, у нас есть точка $(5, 6)$.

5. Построить график.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: вершину $(3, -2)$, точки пересечения с осями $(0, 16)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$ и дополнительные точки $(1, 6)$, $(5, 6)$, $(6, 16)$. Соединяем эти точки плавной линией, получая параболу.

Ответ: Для построения графика квадратичной функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ необходимо последовательно найти направление ветвей (вверх), координаты вершины $(3, -2)$, точки пересечения с осями координат ($(0, 16)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$) и, при необходимости, несколько дополнительных точек, после чего соединить их плавной кривой.