Номер 165, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 165, страница 62.

Условие.

165. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих частях, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Левая часть уравнения:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1)$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + x^2 - 2x + 2x + 1 + 1 = 2x^2 + 2$

Правая часть уравнения:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2x + 2 = (x^2 + 4x + 4) - 2x + 2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + 4x - 2x + 4 + 2 = x^2 + 2x + 6$

Теперь приравняем упрощенные выражения левой и правой частей:

$2x^2 + 2 = x^2 + 2x + 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 - 2x + 2 - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$x_1 = \frac{-(-2) + 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}$

$x_2 = \frac{-(-2) - 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}$

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

б) $(2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, а в правой — формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Левая часть уравнения:

$(2x)^2 - 3^2 - 1 = 4x^2 - 9 - 1 = 4x^2 - 10$

Правая часть уравнения:

$5x + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) = 5x + x^2 - 4x + 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + (5x - 4x) + 4 = x^2 + x + 4$

Приравняем упрощенные выражения:

$4x^2 - 10 = x^2 + x + 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - x^2 - x - 10 - 4 = 0$

$3x^2 - x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

$x_1 = \frac{-(-1) + 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-(-1) - 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $-2; \frac{7}{3}$.