Номер 162, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 162, страница 60.

Условие.

162. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции y = ax² + bx + c, a ≠ 0, если:

(Буквой D обозначен дискриминант квадратичного трёхчлена ax² + bx + c.)

Решение 1.

Решение 8.

1) Рассмотрим расположение графика функции $y = ax^2 + bx + c$ при условии, что старший коэффициент $a > 0$.

Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

Знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс ($Ox$), то есть количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Для случая $a > 0, D > 0$:
Поскольку $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках. Ветви направлены вверх. Схематически это парабола, расположенная своей вершиной в нижней полуплоскости и пересекающая ось $Ox$ дважды.

Для случая $a > 0, D = 0$:
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень. Это означает, что вершина параболы лежит на оси $Ox$, и парабола касается оси в этой точке. Ветви направлены вверх. Этому случаю соответствует график в).

Для случая $a > 0, D < 0$:
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси $Ox$. Этому случаю соответствует график б).

Ответ: При $a > 0, D > 0$ график — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось $Ox$ в двух точках; при $a > 0, D = 0$ — график в); при $a > 0, D < 0$ — график б).

2) Рассмотрим расположение графика функции $y = ax^2 + bx + c$ при условии, что старший коэффициент $a < 0$.

Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Для случая $a < 0, D > 0$:
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках. Ветви направлены вниз. Этому случаю соответствует график а).

Для случая $a < 0, D = 0$:
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Вершина параболы лежит на оси $Ox$, и парабола касается оси в этой точке. Ветви направлены вниз. Схематически это парабола, расположенная своей вершиной на оси $Ox$ и ветвями в нижней полуплоскости.

Для случая $a < 0, D < 0$:
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси $Ox$. Этому случаю соответствует график г).

Ответ: При $a < 0, D > 0$ — график а); при $a < 0, D = 0$ — парабола с ветвями вниз, касающаяся оси $Ox$; при $a < 0, D < 0$ — график г).