Номер 155, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 155, страница 60.

Условие.

155. Постройте график функции:

а) y = 0,5x² – 2;

б) y = x² – 4x + 4;

в) y = –x² + 2x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Построим график функции $y = 0,5x^2 - 2$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Данный график можно получить из графика функции $y = 0,5x^2$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ координаты вершины вычисляются по формулам $x_в = -b/(2a)$, $y_в = y(x_в)$.

В нашем случае $a = 0,5$, $b = 0$, $c = -2$.

$x_в = -0 / (2 \cdot 0,5) = 0$.

$y_в = 0,5 \cdot (0)^2 - 2 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -2)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $y = -2$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; -2)$, что совпадает с вершиной параболы.

С осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим уравнение $0,5x^2 - 2 = 0$.

$0,5x^2 = 2$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Составим таблицу значений для нескольких точек.

Возьмем несколько симметричных относительно оси симметрии $x=0$ значений $x$.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	0	-1,5	-2	-1,5	0

4. Построение графика.

Отмечаем на координатной плоскости вершину $(0; -2)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$ и $(2; 0)$, а также дополнительные точки $(-1; -1,5)$ и $(1; -1,5)$. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции $y = 0,5x^2 - 2$ является парабола с вершиной в точке $(0; -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

---

б) Построим график функции $y = x^2 - 4x + 4$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x-2)^2$.

Данный график можно получить из графика функции $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Для функции вида $y = a(x-h)^2+k$ вершина находится в точке $(h; k)$. В нашем случае $h=2, k=0$. Вершина: $(2; 0)$.

Или по общей формуле: $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

$x_в = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.

$y_в = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(2; 0)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $y = (0-2)^2 = 4$. Точка пересечения — $(0; 4)$.

С осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим уравнение $(x-2)^2 = 0$, откуда $x=2$. Точка пересечения с осью $Ox$ — $(2; 0)$, что совпадает с вершиной. Парабола касается оси $Ox$ в своей вершине.

3. Составим таблицу значений.

Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии $x=2$. Например, точка $(0; 4)$ находится на расстоянии 2 от оси симметрии. Симметричная ей точка будет $(2+2; 4) = (4; 4)$.

$x$	0	1	2	3	4
$y$	4	1	0	1	4

4. Построение графика.

Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2; 0)$ и точки $(0; 4)$, $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(4; 4)$. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 - 4x + 4$ является парабола с вершиной в точке $(2; 0)$, ветви которой направлены вверх. Парабола касается оси абсцисс в точке $(2; 0)$ и пересекает ось ординат в точке $(0; 4)$.

---

в) Построим график функции $y = -x^2 + 2x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Используем формулу $x_в = -b/(2a)$. Здесь $a = -1$, $b = 2$, $c = 0$.

$x_в = -2 / (2 \cdot (-1)) = -2 / -2 = 1$.

$y_в = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(1; 1)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $y = -(0)^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$ (начало координат).

С осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим уравнение $-x^2 + 2x = 0$.

$-x(x - 2) = 0$.

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Составим таблицу значений для нескольких точек.

Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Возьмем точки, симметричные относительно этой оси.

$x$	-1	0	1	2	3
$y$	-3	0	1	0	-3

4. Построение графика.

Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; 1)$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(2; 0)$, а также дополнительные точки $(-1; -3)$ и $(3; -3)$. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции $y = -x^2 + 2x$ является парабола с вершиной в точке $(1; 1)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(2; 0)$.