Страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

153. Постройте график функции и опишите её свойства:

а) $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые элементы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{3} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{2/3} = 6$.
  $y_0 = \frac{1}{3}(6)^2 - 4(6) + 4 = \frac{36}{3} - 24 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8$.
  Вершина находится в точке $(6; -8)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = 6$.
• Точка пересечения с осью ординат (OY): при $x=0$, $y = \frac{1}{3}(0)^2 - 4(0) + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$.
• Точки пересечения с осью абсцисс (OX), или нули функции: решаем уравнение $\frac{1}{3}x^2 - 4x + 4 = 0$.
  Умножим на 3: $x^2 - 12x + 12 = 0$.
  Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 144 - 48 = 96$.
  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{6}$.
  Нули функции: $x_1 = 6 - 2\sqrt{6}$ и $x_2 = 6 + 2\sqrt{6}$.
• Для построения графика можно использовать найденные точки: вершину $(6, -8)$, точки пересечения с осями $(0, 4)$, $(6 - 2\sqrt{6}, 0)$, $(6 + 2\sqrt{6}, 0)$ и точку, симметричную $(0, 4)$ относительно оси симметрии, — $(12, 4)$.

Ответ:

Свойства функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-8; +\infty)$.
• Нули функции: $x = 6 - 2\sqrt{6}$ и $x = 6 + 2\sqrt{6}$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; 6 - 2\sqrt{6}) \cup (6 + 2\sqrt{6}; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (6 - 2\sqrt{6}; 6 + 2\sqrt{6})$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 6]$ и возрастает на промежутке $[6; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 6$; минимальное значение функции $y_{min} = -8$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

б) $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые элементы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{4} < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1/2} = 2$.
  $y_0 = -\frac{1}{4}(2)^2 + 2 - 1 = -\frac{4}{4} + 2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$.
  Вершина находится в точке $(2; 0)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.
• Точка пересечения с осью ординат (OY): при $x=0$, $y = -\frac{1}{4}(0)^2 + 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (OX): так как ордината вершины $y_0 = 0$, парабола касается оси OX в своей вершине. Нуль функции: $x = 2$.
• Для построения графика можно использовать найденные точки: вершину $(2, 0)$, точку пересечения с осью OY $(0, -1)$ и точку, симметричную ей относительно оси симметрии, — $(4, -1)$.

Ответ:

Свойства функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нуль функции: $x = 2$.
• Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; $y=0$ при $x=2$. Функция не принимает положительных значений.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 2$; максимальное значение функции $y_{max} = 0$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

в) $y = x^2 + 3x$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые элементы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.
  $y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$.
  Вершина находится в точке $(-1.5; -2.25)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = -1.5$.
• Точки пересечения с осями координат:
  При $x=0$, $y = 0^2 + 3(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.
  При $y=0$, $x^2 + 3x = 0 \implies x(x+3)=0$. Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
  График проходит через начало координат $(0; 0)$ и точку $(-3; 0)$.
• Для построения графика можно использовать найденные точки: вершину $(-1.5, -2.25)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ:

Свойства функции $y = x^2 + 3x$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-2.25; +\infty)$.
• Нули функции: $x = 0$ и $x = -3$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-3; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = -1.5$; минимальное значение функции $y_{min} = -2.25$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

154. Постройте график функции:

а) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения выполним следующие шаги:

1. Направление ветвей. Так как коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{2}$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Абсцисса вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $y = -\frac{1}{2}x^2 + 0 \cdot x + 5$, коэффициенты равны $a = -\frac{1}{2}$, $b = 0$, $c = 5$.

$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0$.

Подставим $x_0 = 0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_0$:

$y_0 = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось $Oy$).

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 5$. Точка пересечения — $(0, 5)$, что совпадает с вершиной.

- С осью $Ox$: при $y=0$. Решим уравнение $-\frac{1}{2}x^2 + 5 = 0$.

$-\frac{1}{2}x^2 = -5 \implies x^2 = 10 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{10}$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$, что примерно равно $(-3.16, 0)$ и $(3.16, 0)$.

4. Дополнительные точки. Найдем несколько точек для более точного построения, выбрав значения $x$ симметрично относительно оси $x=0$.

При $x=2$: $y = -\frac{1}{2}(2)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветвями, направленными вниз. Она пересекает ось $Ox$ в точках $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$ и проходит через симметричные точки $(-2, 3)$ и $(2, 3)$.

б) $y = x^2 - 4x$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения:

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины. В уравнении $y = x^2 - 4x$ коэффициенты равны $a = 1$, $b = -4$, $c = 0$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Подставим $x_0 = 2$ в уравнение функции:

$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(2, -4)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 - 4(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

- С осью $Ox$: при $y=0$. Решим уравнение $x^2 - 4x = 0$.

$x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Дополнительные точки. Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=2$.

При $x=1$: $y = 1^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$. В силу симметрии, при $x=3$ значение $y$ будет таким же.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветвями, направленными вверх. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(1, -3)$ и $(3, -3)$.

в) $y = -x^2 + 6x - 9$

Графиком данной функции является парабола. Проанализируем ее.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. В уравнении $y = -x^2 + 6x - 9$ коэффициенты $a = -1$, $b = 6$, $c = -9$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Подставим $x_0 = 3$ в уравнение функции:

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$.

Заметим, что выражение является полным квадратом: $y = -(x^2 - 6x + 9) = -(x-3)^2$. Из этой формы записи $y=a(x-h)^2+k$ сразу видны координаты вершины $(h, k) = (3, 0)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения — $(0, -9)$.

- С осью $Ox$: при $y=0$. Уравнение $-(x-3)^2 = 0$ имеет один корень $x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$ совпадает с вершиной. Это означает, что парабола касается оси $Ox$ в своей вершине.

4. Дополнительные точки. Найдем несколько точек для построения, симметричных относительно оси $x=3$.

При $x=2$: $y = -(2-3)^2 = -(-1)^2 = -1$.

При $x=1$: $y = -(1-3)^2 = -(-2)^2 = -4$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 6x - 9$ — это парабола с вершиной в точке $(3, 0)$, ветвями, направленными вниз. Парабола касается оси $Ox$ в своей вершине и пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -9)$. Она также проходит через точки $(2, -1)$, $(4, -1)$, $(1, -4)$ и $(5, -4)$.

155. Постройте график функции:

а) y = 0,5x² – 2;

б) y = x² – 4x + 4;

в) y = –x² + 2x.

а) Построим график функции $y = 0,5x^2 - 2$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Данный график можно получить из графика функции $y = 0,5x^2$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ координаты вершины вычисляются по формулам $x_в = -b/(2a)$, $y_в = y(x_в)$.

В нашем случае $a = 0,5$, $b = 0$, $c = -2$.

$x_в = -0 / (2 \cdot 0,5) = 0$.

$y_в = 0,5 \cdot (0)^2 - 2 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -2)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $y = -2$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; -2)$, что совпадает с вершиной параболы.

С осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим уравнение $0,5x^2 - 2 = 0$.

$0,5x^2 = 2$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Составим таблицу значений для нескольких точек.

Возьмем несколько симметричных относительно оси симметрии $x=0$ значений $x$.

4. Построение графика.

Отмечаем на координатной плоскости вершину $(0; -2)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$ и $(2; 0)$, а также дополнительные точки $(-1; -1,5)$ и $(1; -1,5)$. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции $y = 0,5x^2 - 2$ является парабола с вершиной в точке $(0; -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

б) Построим график функции $y = x^2 - 4x + 4$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x-2)^2$.

Данный график можно получить из графика функции $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Для функции вида $y = a(x-h)^2+k$ вершина находится в точке $(h; k)$. В нашем случае $h=2, k=0$. Вершина: $(2; 0)$.

Или по общей формуле: $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

$x_в = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.

$y_в = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(2; 0)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $y = (0-2)^2 = 4$. Точка пересечения — $(0; 4)$.

С осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим уравнение $(x-2)^2 = 0$, откуда $x=2$. Точка пересечения с осью $Ox$ — $(2; 0)$, что совпадает с вершиной. Парабола касается оси $Ox$ в своей вершине.

3. Составим таблицу значений.

Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии $x=2$. Например, точка $(0; 4)$ находится на расстоянии 2 от оси симметрии. Симметричная ей точка будет $(2+2; 4) = (4; 4)$.

4. Построение графика.

Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2; 0)$ и точки $(0; 4)$, $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(4; 4)$. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 - 4x + 4$ является парабола с вершиной в точке $(2; 0)$, ветви которой направлены вверх. Парабола касается оси абсцисс в точке $(2; 0)$ и пересекает ось ординат в точке $(0; 4)$.

в) Построим график функции $y = -x^2 + 2x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Используем формулу $x_в = -b/(2a)$. Здесь $a = -1$, $b = 2$, $c = 0$.

$x_в = -2 / (2 \cdot (-1)) = -2 / -2 = 1$.

$y_в = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(1; 1)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $y = -(0)^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$ (начало координат).

С осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим уравнение $-x^2 + 2x = 0$.

$-x(x - 2) = 0$.

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Составим таблицу значений для нескольких точек.

Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Возьмем точки, симметричные относительно этой оси.

4. Построение графика.

Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; 1)$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(2; 0)$, а также дополнительные точки $(-1; -3)$ и $(3; -3)$. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции $y = -x^2 + 2x$ является парабола с вершиной в точке $(1; 1)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

156. Постройте график функции:

а) y = (x – 2)(x + 4);

б) y = –x (x + 5).

Для построения графика функции $y = (x - 2)(x + 4)$ необходимо исследовать эту функцию. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
1. Приведение к стандартному виду. Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к виду $y = ax^2 + bx + c$:
$y = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$(x - 2)(x + 4) = 0$.
Отсюда $x - 2 = 0$ или $x + 4 = 0$.
Получаем корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.
4. Координаты вершины параболы. Абсциссу вершины $x_v$ можно найти как среднее арифметическое корней:
$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -1$ в уравнение функции:
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
Координаты вершины параболы: $(-1, -9)$.
5. Точка пересечения с осью ординат (Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 0^2 + 2(0) - 8 = -8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.
Имея эти ключевые точки (вершину, точки пересечения с осями), можно построить график параболы.
Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке $(-1, -9)$ и пересекающая ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Для построения графика функции $y = -x(x + 5)$ проведем ее исследование. Это также квадратичная функция, и ее график — парабола.
1. Приведение к стандартному виду. Раскроем скобки:
$y = -x^2 - 5x$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-x(x + 5) = 0$.
Отсюда $-x = 0$ или $x + 5 = 0$.
Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-5, 0)$ и $(0, 0)$.
4. Координаты вершины параболы. Абсциссу вершины $x_v$ найдем как среднее арифметическое корней:
$x_v = \frac{-5 + 0}{2} = -2.5$.
Найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -2.5$ в уравнение функции:
$y_v = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25$.
Координаты вершины параболы: $(-2.5, 6.25)$.
5. Точка пересечения с осью ординат (Oy). Подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = -0^2 - 5(0) = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$, что совпадает с одной из точек пересечения с осью Ox.
Имея эти ключевые точки, строим график параболы.
Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке $(-2.5, 6.25)$ и пересекающая ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(0, 0)$.

157. Найдите

а) наименьшее значение функции y = x² – 4x – 4;

б) наибольшее значение функции y = –x² – 4x + 5;

в) наименьшее значение функции y = x² – 6x – 6;

г) наибольшее значение функции y = –x² – 3x + 2.

157.

Для нахождения наименьшего или наибольшего значения квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Ордината вершины $y_0$ является искомым значением и находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = y(x_0)$.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает своего наименьшего значения.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает своего наибольшего значения.

а) Дана функция $y = x^2 - 4x - 4$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = -4$. Так как $a = 1 > 0$, функция имеет наименьшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Подставляем $x_0 = 2$ в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение $y_0$:

$y_{наим} = (2)^2 - 4(2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8$.

Ответ: -8.

б) Дана функция $y = -x^2 - 4x + 5$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = -4$, $c = 5$. Так как $a = -1 < 0$, функция имеет наибольшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$.

Подставляем $x_0 = -2$ в уравнение функции, чтобы найти наибольшее значение $y_0$:

$y_{наиб} = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

Ответ: 9.

в) Дана функция $y = x^2 - 6x - 6$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = -6$. Так как $a = 1 > 0$, функция имеет наименьшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Подставляем $x_0 = 3$ в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение $y_0$:

$y_{наим} = (3)^2 - 6(3) - 6 = 9 - 18 - 6 = -15$.

Ответ: -15.

г) Дана функция $y = -x^2 - 3x + 2$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = -3$, $c = 2$. Так как $a = -1 < 0$, функция имеет наибольшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{-2} = -1.5$.

Подставляем $x_0 = -1.5$ в уравнение функции, чтобы найти наибольшее значение $y_0$:

$y_{наиб} = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 2 = -2.25 + 4.5 + 2 = 4.25$.

Ответ: 4.25.

158.

Чтобы выяснить, график какой из функций изображен на рисунке, проанализируем свойства графика и сравним их со свойствами каждой из предложенных функций: $y = x^2 + 6x$, $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$, $y = -x^2 - 6$.

Анализ графика:

1. Направление ветвей: Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент $a$ при $x^2$ должен быть положительным ($a > 0$). Это сразу исключает функцию $y = -x^2 - 6$, у которой $a = -1$.
2. Координаты вершины: Вершина параболы (ее самая низкая точка) находится в точке с координатами $(3, -4.5)$.
3. Пересечение с осями: График проходит через начало координат $(0, 0)$ и пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=6$.

Проверка оставшихся функций:

1. $y = x^2 + 6x$

Коэффициент $a = 1 > 0$, что соответствует направлению ветвей. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Абсцисса вершины $x_0 = -3$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x = 3$). Следовательно, эта функция не подходит.

2. $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$

Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, что соответствует направлению ветвей. Найдем координаты вершины.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3$.

Ордината вершины:

$y_0 = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) = \frac{1}{2} \cdot 9 - 9 = 4.5 - 9 = -4.5$.

Координаты вершины $(3, -4.5)$ полностью совпадают с вершиной на графике. Проверим также пересечение с осями. При $x=0$, $y=0$. Корни уравнения $\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0$ или $x(\frac{1}{2}x-3)=0$ равны $x=0$ и $x=6$. Все свойства функции совпадают с графиком.

Ответ: На рисунке изображен график функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

158. Выясните, график какой из функций изображён на рисунке 34.

y = x² + 6x, y = $\frac{1}{2}$x² – 3x, y = –x² – 6

Чтобы определить, график какой из функций изображён на рисунке, проанализируем свойства параболы, представленной на графике, и сравним их со свойствами каждой из предложенных функций.

Ключевые характеристики параболы на графике:

• Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ при $x^2$ в уравнении $y = ax^2 + bx + c$ должен быть положительным ($a > 0$).
• Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = 3$.
• График пересекает ось абсцисс ($x$) в точках $x=0$ и $x=6$.

Теперь рассмотрим каждую из предложенных функций.

$y = x^2 + 6x$

У этой функции коэффициент $a=1$, что больше нуля ($a>0$), поэтому ветви параболы направлены вверх, что соответствует графику. Однако абсцисса вершины этой параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Подставив значения $a=1$ и $b=6$, получим: $x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. На графике абсцисса вершины равна $3$, а не $-3$. Следовательно, эта функция не соответствует изображению.

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$

У этой функции коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, так что ветви направлены вверх, что соответствует графику. Найдем абсциссу вершины. При $a=\frac{1}{2}$ и $b=-3$ имеем: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3$. Абсцисса вершины совпадает с абсциссой вершины на графике. Теперь найдем ординату вершины, подставив $x=3$ в функцию: $y_v = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) = \frac{9}{2} - 9 = 4.5 - 9 = -4.5$. Координаты вершины $(3; -4.5)$ соответствуют графику. Проверим точки пересечения с осью $x$ (нули функции). Для этого решим уравнение $\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0$: $x(\frac{1}{2}x - 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Эти точки также соответствуют графику. Все ключевые характеристики совпадают. Следовательно, эта функция соответствует графику на рисунке.

$y = -x^2 - 6$

У этой функции коэффициент $a = -1$, что меньше нуля ($a<0$). Это означает, что ветви параболы должны быть направлены вниз. На рисунке же ветви направлены вверх. Следовательно, эта функция не соответствует графику.

Таким образом, единственная функция, график которой изображён на рисунке, — это $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

159. Найдите значение b, при котором прямая y = 6x + b касается параболы y = x² + 8.

Для того чтобы прямая $y = 6x + b$ касалась параболы $y = x^2 + 8$, они должны иметь ровно одну общую точку. Это означает, что система, составленная из уравнений этих двух функций, должна иметь единственное решение.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
$x^2 + 8 = 6x + b$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + kx + c = 0$:
$x^2 - 6x + 8 - b = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = k^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $x^2 - 6x + (8 - b) = 0$ коэффициенты равны:
$a = 1$
$k = -6$
$c = 8 - b$

Теперь вычислим дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - b)$
$D = 36 - 4(8 - b)$
$D = 36 - 32 + 4b$
$D = 4 + 4b$

Приравняем дискриминант к нулю и найдем искомое значение $b$:
$4 + 4b = 0$
$4b = -4$
$b = \frac{-4}{4}$
$b = -1$

Ответ: -1

160. При каком значении n графики функций y = 2x² – 5x + 6 и y = x² – 7x + n имеют только одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения их координаты x и y совпадают.

Даны функции: $y = 2x^2 - 5x + 6$ и $y = x^2 - 7x + n$.

Приравниваем их:

$2x^2 - 5x + 6 = x^2 - 7x + n$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$(2x^2 - x^2) + (-5x + 7x) + (6 - n) = 0$

$x^2 + 2x + (6 - n) = 0$

Графики функций имеют только одну общую точку, если полученное квадратное уравнение имеет только один корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ равен нулю.

Нахождение значения n

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + 2x + (6 - n) = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c = 6-n$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - n) = 4 - 24 + 4n = 4n - 20$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$4n - 20 = 0$

$4n = 20$

$n = 5$

Ответ: $n=5$.

Нахождение координат этой точки

Теперь, когда мы знаем значение $n=5$, мы можем найти корень уравнения, который будет абсциссой (координатой x) общей точки. Подставим $n=5$ в наше квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + (6 - 5) = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(x+1)^2 = 0$. Отсюда находим корень: $x = -1$.

Чтобы найти ординату (координату y) общей точки, подставим найденное значение $x=-1$ в уравнение любой из исходных функций. Возьмем первую функцию: $y = 2x^2 - 5x + 6$.

$y = 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 = 2(1) + 5 + 6 = 2 + 5 + 6 = 13$.

Для проверки подставим $x=-1$ и $n=5$ во вторую функцию: $y = x^2 - 7x + n$.

$y = (-1)^2 - 7(-1) + 5 = 1 + 7 + 5 = 13$.

Оба результата совпадают, значит, координаты найдены верно.

Ответ: $(-1, 13)$.

161. Функции, графики которых изображены на рисунке 35, задаются уравнениями вида y = ax² + bx + c. Найдите значения коэффициентов a, b и c в каждом случае.

Для решения данной задачи необходимо видеть графики функций на рисунке 35, который не был предоставлен. Ниже приведено подробное объяснение общего метода нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ для квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, а также разбор гипотетических примеров.

Общий подход заключается в том, чтобы определить по графику координаты трех точек и составить систему из трех уравнений. Однако, если на графике легко определить вершину параболы, удобнее использовать вершинную форму уравнения: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины.

Предположим, на одном из графиков изображена парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, и график пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$.

1. Определяем координаты вершины параболы: $(x_v, y_v) = (2, -1)$.

2. Записываем уравнение параболы в вершинной форме, подставив координаты вершины: $y = a(x - 2)^2 - 1$.

3. Для нахождения коэффициента $a$ используем другую точку, через которую проходит график. В нашем случае это точка пересечения с осью Y, $(0, 3)$.

4. Подставляем координаты точки $(0, 3)$ в уравнение и решаем его относительно $a$:

$3 = a(0 - 2)^2 - 1$
$3 = a(-2)^2 - 1$
$3 = 4a - 1$
$4a = 4$
$a = 1$

5. Теперь, зная $a$, приводим уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, чтобы найти $b$ и $c$:

$y = 1 \cdot (x - 2)^2 - 1$
$y = (x^2 - 4x + 4) - 1$
$y = x^2 - 4x + 3$

Сравнивая полученное уравнение с общим видом, находим коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.

Ответ: $a = 1, b = -4, c = 3$.

Предположим, на другом графике изображена парабола с ветвями, направленными вниз. Её вершина находится в точке $(-1, 4)$, и она проходит через точку $(1, 0)$.

1. Координаты вершины параболы: $(x_v, y_v) = (-1, 4)$. Так как ветви направлены вниз, коэффициент $a$ должен быть отрицательным.

2. Уравнение параболы в вершинной форме: $y = a(x - (-1))^2 + 4$, что равносильно $y = a(x + 1)^2 + 4$.

3. Используем точку $(1, 0)$ для нахождения $a$.

4. Подставляем координаты точки $(1, 0)$ в уравнение:

$0 = a(1 + 1)^2 + 4$
$0 = a(2)^2 + 4$
$0 = 4a + 4$
$4a = -4$
$a = -1$

5. Приводим уравнение к стандартному виду:

$y = -1(x + 1)^2 + 4$
$y = -(x^2 + 2x + 1) + 4$
$y = -x^2 - 2x - 1 + 4$
$y = -x^2 - 2x + 3$

Таким образом, коэффициенты равны: $a = -1$, $b = -2$, $c = 3$.

Ответ: $a = -1, b = -2, c = 3$.

162. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции y = ax² + bx + c, a ≠ 0, если:

(Буквой D обозначен дискриминант квадратичного трёхчлена ax² + bx + c.)

1) Рассмотрим расположение графика функции $y = ax^2 + bx + c$ при условии, что старший коэффициент $a > 0$.

Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

Знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс ($Ox$), то есть количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Для случая $a > 0, D > 0$:
Поскольку $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках. Ветви направлены вверх. Схематически это парабола, расположенная своей вершиной в нижней полуплоскости и пересекающая ось $Ox$ дважды.

Для случая $a > 0, D = 0$:
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень. Это означает, что вершина параболы лежит на оси $Ox$, и парабола касается оси в этой точке. Ветви направлены вверх. Этому случаю соответствует график в).

Для случая $a > 0, D < 0$:
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси $Ox$. Этому случаю соответствует график б).

Ответ: При $a > 0, D > 0$ график — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось $Ox$ в двух точках; при $a > 0, D = 0$ — график в); при $a > 0, D < 0$ — график б).

2) Рассмотрим расположение графика функции $y = ax^2 + bx + c$ при условии, что старший коэффициент $a < 0$.

Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Для случая $a < 0, D > 0$:
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках. Ветви направлены вниз. Этому случаю соответствует график а).

Для случая $a < 0, D = 0$:
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Вершина параболы лежит на оси $Ox$, и парабола касается оси в этой точке. Ветви направлены вниз. Схематически это парабола, расположенная своей вершиной на оси $Ox$ и ветвями в нижней полуплоскости.

Для случая $a < 0, D < 0$:
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси $Ox$. Этому случаю соответствует график г).

Ответ: При $a < 0, D > 0$ — график а); при $a < 0, D = 0$ — парабола с ветвями вниз, касающаяся оси $Ox$; при $a < 0, D < 0$ — график г).