Страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

163. (Задача-исследование.) По графику функции y = ax² + bx + c (рис. 36) определите знаки коэффициентов a, b и c.

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов a и c. Укажите эти знаки.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента b. Укажите этот знак.

1) Объясним, как определить знаки коэффициентов $a$ и $c$ по графику функции $y = ax^2 + bx + c$.

Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Если ветви параболы направлены вверх, то $a > 0$. Если ветви направлены вниз, то $a < 0$.

Коэффициент $c$ показывает ординату точки пересечения графика с осью $Oy$, так как при $x=0$ значение функции равно $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже оси $Ox$, то $c < 0$.

Теперь определим знаки для каждого графика:

• На рисунке а) ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже оси $Ox$, следовательно, $c < 0$.

• На рисунке б) ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше оси $Ox$, следовательно, $c > 0$.

Ответ: На рисунке а) знаки коэффициентов: $a < 0$, $c < 0$. На рисунке б) знаки коэффициентов: $a > 0$, $c > 0$.

2) Обсудим, как определить знак коэффициента $b$.

Знак коэффициента $b$ зависит от расположения вершины параболы. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. Из этой формулы можно выразить коэффициент $b$: $b = -2ax_0$. Таким образом, знак $b$ определяется знаками коэффициента $a$ и абсциссы вершины $x_0$.

• Если вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), то знаки $a$ и $b$ совпадают (так как $-2ax_0$ будет иметь тот же знак, что и $b$).

• Если вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), то знаки $a$ и $b$ противоположны.

Теперь определим знак коэффициента $b$ для каждого графика:

• На рисунке а) мы уже знаем, что $a < 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, значит $x_0 > 0$. Так как $a$ и $x_0$ имеют разные знаки, то коэффициент $b$ должен быть положительным. Проверим по формуле: $b = -2 \cdot (\text{отрицательное число}) \cdot (\text{положительное число}) > 0$. Следовательно, $b > 0$.

• На рисунке б) мы знаем, что $a > 0$. Вершина параболы также находится в правой полуплоскости, значит $x_0 > 0$. Так как $a$ и $x_0$ имеют одинаковые знаки, то коэффициент $b$ должен быть отрицательным. Проверим по формуле: $b = -2 \cdot (\text{положительное число}) \cdot (\text{положительное число}) < 0$. Следовательно, $b < 0$.

Ответ: На рисунке а) знак коэффициента $b$ – положительный ($b > 0$). На рисунке б) знак коэффициента $b$ – отрицательный ($b < 0$).

164. Сократите дробь $\frac{{(1-3a)}^2}{3a^2+5a-2}$.

Для того чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Исходное выражение:

$$ \frac{(1 - 3a)^2}{3a^2 + 5a - 2} $$

Числитель дроби $ (1 - 3a)^2 $ уже представлен в виде произведения двух одинаковых множителей. Также полезно заметить, что $ (1 - 3a)^2 = (-(3a - 1))^2 = (3a - 1)^2 $.

Теперь разложим на множители знаменатель, который является квадратным трехчленом $ 3a^2 + 5a - 2 $. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 3a^2 + 5a - 2 = 0 $.

Вычислим дискриминант $ D $ по формуле $ D = b^2 - 4ac $:

$$ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 $$

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$$ a_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 $$

$$ a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители: $ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) $.

$$ 3a^2 + 5a - 2 = 3(a - (-2))(a - \frac{1}{3}) = 3(a + 2)(a - \frac{1}{3}) $$

Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель $ 3 $ на двучлен $ (a - \frac{1}{3}) $:

$$ (a + 2) \cdot 3(a - \frac{1}{3}) = (a + 2)(3a - 1) $$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходную дробь, используя представление числителя $ (3a - 1)^2 $:

$$ \frac{(3a - 1)^2}{(a + 2)(3a - 1)} $$

Сократим общий множитель $ (3a - 1) $ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии $ 3a - 1 \neq 0 $, то есть $ a \neq \frac{1}{3} $. Это условие выполняется, так как при $ a = \frac{1}{3} $ знаменатель исходной дроби обращается в ноль.

$$ \frac{(3a - 1)^{\cancel{2}}}{(a + 2)\cancel{(3a - 1)}} = \frac{3a - 1}{a + 2} $$

Ответ: $ \frac{3a - 1}{a + 2} $