Страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

149. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀ (м/с) с высоты h₀ (м). Высота h (м), на которой окажется тело через t (с), выражается формулой

h = - $\frac{g{t}^2}{2}$ + v₀t + h₀ (g ≈ 10 м/с2).

На рисунке 33 показан график зависимости h от t для случая, когда h₀ = 20, v₀ = 15. Найдите по графику:

а) сколько времени тело поднималось вверх;

б) сколько времени оно опускалось вниз;

в) какой наибольшей высоты достигло тело;

г) через сколько секунд тело упало на землю.

а) сколько времени тело поднималось вверх;

Чтобы определить, сколько времени тело поднималось вверх, необходимо найти на графике промежуток времени, в течение которого высота $h$ увеличивалась. Движение вверх соответствует участку графика от начального момента времени до точки, где достигается максимальная высота. Эта точка является вершиной параболы. По графику видно, что высота увеличивается от $t=0$ с до $t=1.5$ с. В момент времени $t=1.5$ с тело достигает своей наивысшей точки и начинает падать. Следовательно, время подъема составляет 1,5 секунды.

Ответ: 1,5 с.

б) сколько времени оно опускалось вниз;

Время опускания – это промежуток времени с момента достижения максимальной высоты до момента падения на землю. Из предыдущего пункта мы знаем, что максимальная высота была достигнута в момент $t=1.5$ с. Из графика видно, что тело достигло земли (высота $h=0$) в момент времени $t=4$ с. Чтобы найти, сколько времени тело опускалось, нужно вычесть из времени падения время достижения максимальной высоты: $t_{опускания} = 4 \text{ с} - 1.5 \text{ с} = 2.5 \text{ с}$.

Ответ: 2,5 с.

в) какой наибольшей высоты достигло тело;

Наибольшая высота, которой достигло тело, соответствует максимальному значению на оси $h$. Это значение достигается в вершине параболы, в момент времени $t=1.5$ с. Найдем на графике точку с абсциссой $t=1.5$ с и определим ее ординату. Эта точка находится выше отметки 30 м. Каждое малое деление по оси $h$ соответствует 1 м. Вершина параболы находится на уровне 31 м и еще четверти следующего деления. Таким образом, максимальная высота составляет 31,25 м. Проверим расчет по формуле $h = -5t^2 + 15t + 20$ при $t=1.5$: $h = -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 20 = -11.25 + 22.5 + 20 = 31.25$ м.

Ответ: 31,25 м.

г) через сколько секунд тело упало на землю.

Тело упало на землю, когда его высота $h$ стала равной нулю. На графике это соответствует точке пересечения кривой с горизонтальной осью времени $t$. Глядя на график, мы видим, что кривая пересекает ось $t$ в точке, где $t=4$ с. Это означает, что тело упало на землю через 4 секунды после броска.

Ответ: 4 с.

150. Квадратичная функция задана формулой:

а) y = x² – 4x + 7;

б) y = –2x² – 5x – 2.

Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график.

а) $y = x^2 - 4x + 7$
Графиком данной квадратичной функции является парабола. Для её построения найдём координаты вершины и определим направление ветвей.
Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$.
1. Найдём абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
2. Найдём ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.
Таким образом, координаты вершины параболы — $(2; 3)$.
3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
4. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
5. Для схематического изображения графика наметим на координатной плоскости вершину $(2; 3)$ и проведём через неё вертикальную ось симметрии $x = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, она будет располагаться выше точки $(2; 3)$. Для уточнения можно найти точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$: $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 7 = 7$. Значит, парабола проходит через точку $(0; 7)$.
Ответ: Координаты вершины: $(2; 3)$. Ось симметрии: $x = 2$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2; 3)$, ветвями, направленными вверх.

б) $y = -2x^2 - 5x - 2$
Это также квадратичная функция, её график — парабола.
Коэффициенты уравнения: $a = -2$, $b = -5$, $c = -2$.
1. Найдём абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{4} = -1,25$.
2. Найдём ординату вершины:
$y_0 = -2\left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{4}\right) - 2 = -2\left(\frac{25}{16}\right) + \frac{25}{4} - 2 = -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - \frac{16}{8} = \frac{-25 + 50 - 16}{8} = \frac{9}{8} = 1,125$.
Таким образом, координаты вершины параболы — $(-1,25; 1,125)$.
3. Уравнение оси симметрии: $x = -1,25$.
4. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
5. Для схематического изображения графика наметим на координатной плоскости вершину $(-1,25; 1,125)$ и ось симметрии $x = -1,25$. Ветви параболы направлены вниз от вершины. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x=0$): $y = -2 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 - 2 = -2$. Парабола проходит через точку $(0; -2)$.
Ответ: Координаты вершины: $(-1,25; 1,125)$. Ось симметрии: $x = -1,25$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-1,25; 1,125)$, ветвями, направленными вниз.

151. Постройте график функции y = –x² + 2x + 8 и найдите, используя график:

а) значения функции при x = 2,5; –0,5; –3;

б) значения аргумента, при которых y = 6; 0; –2;

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Для построения графика функции $y = -x^2 + 2x + 8$ определим ключевые точки. Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находим по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$
Вершина параболы находится в точке $(1, 9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY (x=0): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.
С осью OX (y=0): $-x^2 + 2x + 8 = 0$. Умножим на $-1$: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Дополнительные точки. Для точности построения найдем еще пару симметричных точек. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Точка $(0, 8)$ симметрична точке $(2, 8)$. Возьмем $x=3$:
$y = -(3)^2 + 2(3) + 8 = -9 + 6 + 8 = 5$. Точка $(3, 5)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(-1, 5)$.

Используя эти точки — вершину $(1, 9)$, точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(4, 0)$, $(0, 8)$ и дополнительные точки $(2, 8)$, $(-1, 5)$, $(3, 5)$ — строим график параболы.

Теперь, используя график, найдем требуемые значения.

а) значения функции при $x=2,5; -0,5; -3$

Находим на оси ОХ заданные значения аргумента, проводим вертикальные линии до пересечения с графиком, а затем горизонтальные линии от этих точек до оси OY.
При $x = 2,5$ значение функции $y \approx 6,75$. (Точный расчет: $y = -(2,5)^2 + 2(2,5) + 8 = -6,25 + 5 + 8 = 6,75$).
При $x = -0,5$ значение функции $y \approx 6,75$. (Точный расчет: $y = -(-0,5)^2 + 2(-0,5) + 8 = -0,25 - 1 + 8 = 6,75$).
При $x = -3$ значение функции $y = -7$. (Точный расчет: $y = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7$).
Ответ: при $x=2,5$ $y=6,75$; при $x=-0,5$ $y=6,75$; при $x=-3$ $y=-7$.

б) значения аргумента, при которых $y = 6; 0; -2$

Находим на оси OY заданные значения функции, проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком, а затем вертикальные линии от этих точек до оси OX.
При $y = 6$ аргумент $x$ принимает значения $x \approx -0,7$ и $x \approx 2,7$. (Точное решение: $6 = -x^2 + 2x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{3}$).
При $y = 0$ аргумент $x$ принимает значения $x = -2$ и $x = 4$. Это нули функции.
При $y = -2$ аргумент $x$ принимает значения $x \approx -2,3$ и $x \approx 4,3$. (Точное решение: $-2 = -x^2 + 2x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{11}$).
Ответ: $y=6$ при $x = 1 - \sqrt{3}$ и $x = 1 + \sqrt{3}$; $y=0$ при $x=-2$ и $x=4$; $y=-2$ при $x = 1 - \sqrt{11}$ и $x = 1 + \sqrt{11}$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Из графика видно, что это точки пересечения параболы с осью OX.
Нули функции: $x = -2$ и $x = 4$.
Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($y>0$), когда график находится выше оси OX. Это происходит на интервале между нулями. $y>0$ при $x \in (-2; 4)$.
Функция отрицательна ($y<0$), когда график находится ниже оси OX. Это происходит на двух интервалах. $y<0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.
Ответ: нули функции: $x_1=-2, x_2=4$; $y>0$ при $x \in (-2; 4)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции

Промежутки возрастания и убывания определяются по вершине параболы $(1, 9)$.
Функция возрастает на промежутке, где график "идет вверх" (слева направо), то есть до вершины. Промежуток возрастания: $(-\infty; 1]$.
Функция убывает на промежутке, где график "идет вниз", то есть после вершины. Промежуток убывания: $[1; \infty)$.
Множество значений функции (область значений) — это все значения, которые может принимать $y$. Так как ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(1, 9)$, максимальное значение функции равно 9.
Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 9]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 1]$, убывает на $[1; \infty)$; множество значений функции $E(y) = (-\infty; 9]$.

152. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график:

а) значения y при x = –2,3; –0,5; 1,2;

б) значения x, при которых y = –4; –1; 1,7;

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Для построения графика функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ определим ключевые характеристики параболы.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

1. Находим координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Координата $x_v$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$.

Подставляем $x_v = -2$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:

$y_v = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -6)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

2. Находим точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = 2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции, при $y=0$):

$2x^2 + 8x + 2 = 0$.

Делим уравнение на 2: $x^2 + 4x + 1 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Нули функции: $x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.73$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.27$.

3. Находим несколько дополнительных точек для точности построения.

Возьмем точку, симметричную точке $(0, 2)$ относительно оси симметрии $x = -2$. Эта точка будет иметь $x = -4$, а $y$ останется тем же: $(-4, 2)$.

При $x = -1$: $y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 2 = 2 - 8 + 2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.

Симметричная ей точка: $(-3, -4)$.

Построив график по этим точкам (вершина $(-2, -6)$, точки $(-4, 2)$, $(-3, -4)$, $(-1, -4)$, $(0, 2)$ и нули функции), ответим на вопросы задачи.

а) значения у при x = -2,3; -0,5; 1,2;

Чтобы найти значения $y$ по графику, нужно найти на оси $x$ заданные значения, провести от них вертикальные линии до пересечения с параболой, а затем от точек пересечения провести горизонтальные линии к оси $y$ и определить соответствующие значения.

• При $x = -2.3$, значение $y$ будет немного выше минимального значения $-6$. По графику $y \approx -5.8$.
• При $x = -0.5$, по графику находим $y = -1.5$.
• При $x = 1.2$, по графику находим $y \approx 14.5$.

Ответ: при $x = -2.3$, $y \approx -5.8$; при $x = -0.5$, $y = -1.5$; при $x = 1.2$, $y \approx 14.5$.

б) значения x, при которых y = -4; -1; 7;

Чтобы найти значения $x$ по графику, нужно найти на оси $y$ заданные значения, провести через них горизонтальные прямые до пересечения с параболой, а затем от точек пересечения опустить перпендикуляры на ось $x$ и определить соответствующие значения.

• При $y = -4$, горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках. Их координаты по оси $x$ равны $x = -3$ и $x = -1$.
• При $y = -1$, прямая пересекает параболу в точках, для которых $x \approx -3.6$ и $x \approx -0.4$.
• При $y = 7$, прямая пересекает параболу в точках, для которых $x \approx -4.55$ и $x \approx 0.55$.

Ответ: $y = -4$ при $x = -3$ и $x = -1$; $y = -1$ при $x \approx -3.6$ и $x \approx -0.4$; $y = 7$ при $x \approx -4.55$ и $x \approx 0.55$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

Нули функции — это значения $x$, при которых график пересекает ось $Ox$ (т.е. $y=0$). Промежутки знакопостоянства — это интервалы по оси $x$, на которых график функции находится выше (y > 0) или ниже (y < 0) оси $Ox$.

• Нули функции: точки пересечения с осью $Ox$. Как мы вычислили ранее, это $x = -2 - \sqrt{3}$ и $x = -2 + \sqrt{3}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y>0$), когда ее график лежит выше оси $Ox$. Это происходит на промежутках $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
  • Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график лежит ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

Ответ: нули функции: $x = -2 - \sqrt{3}$, $x = -2 + \sqrt{3}$. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания определяются по вершине параболы. Наименьшее значение функции — это ордината вершины, так как ветви параболы направлены вверх.

• Промежутки возрастания и убывания:
  • Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины. График идет вниз. Это промежуток $(-\infty; -2]$.
  • Функция возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. График идет вверх. Это промежуток $[-2; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции — это самое низкое значение, которое принимает $y$. Оно достигается в вершине параболы и равно $y_v = -6$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$. Наименьшее значение функции равно -6 (достигается при $x=-2$).