Страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

147. Решите уравнение:

а) $0.6a - (a + 0.3)^2 = 0.27$

Сначала раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + 0.3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 0.3 + (0.3)^2 = a^2 + 0.6a + 0.09$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$0.6a - (a^2 + 0.6a + 0.09) = 0.27$

Раскроем скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри них:

$0.6a - a^2 - 0.6a - 0.09 = 0.27$

Приведем подобные слагаемые. $0.6a$ и $-0.6a$ взаимно уничтожаются:

$-a^2 - 0.09 = 0.27$

Перенесем число $-0.09$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-a^2 = 0.27 + 0.09$

$-a^2 = 0.36$

Умножим обе части на $-1$:

$a^2 = -0.36$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

б) $\frac{y^2 - 2y}{4} = 0.5y(6 - 2y)$

Сначала упростим правую часть уравнения, раскрыв скобки:

$0.5y(6 - 2y) = 0.5y \cdot 6 - 0.5y \cdot 2y = 3y - y^2$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{y^2 - 2y}{4} = 3y - y^2$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$y^2 - 2y = 4(3y - y^2)$

$y^2 - 2y = 12y - 4y^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки на противоположные, и приравняем к нулю:

$y^2 - 2y - 12y + 4y^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5y^2 - 14y = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(5y - 14) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

1) $y = 0$

2) $5y - 14 = 0 \implies 5y = 14 \implies y = \frac{14}{5} = 2.8$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0$; $2.8$.

148. Решите неравенство:

а) $5x - 0,7 < 3x + 5,1$

Для решения неравенства перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$5x - 3x < 5,1 + 0,7$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$2x < 5,8$

Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент при $x$, равный 2. Знак неравенства при этом не меняется.

$x < \frac{5,8}{2}$

$x < 2,9$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 2,9)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2,9)$

б) $0,8x + 4,5 \ge 5 - 1,2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$0,8x + 1,2x \ge 5 - 4,5$

Приведем подобные слагаемые:

$2x \ge 0,5$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x \ge \frac{0,5}{2}$

$x \ge 0,25$

Решением неравенства является числовой промежуток $[0,25; +\infty)$.

Ответ: $x \in [0,25; +\infty)$

в) $2x + 4,2 \le 4x + 7,8$

Сгруппируем слагаемые с переменной в одной части, а числа — в другой. Чтобы коэффициент при $x$ остался положительным, перенесем $2x$ вправо, а $7,8$ влево.

$4,2 - 7,8 \le 4x - 2x$

Выполним вычисления в обеих частях:

$-3,6 \le 2x$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не изменится.

$\frac{-3,6}{2} \le x$

$-1,8 \le x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде: $x \ge -1,8$.

Решением неравенства является числовой промежуток $[-1,8; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-1,8; +\infty)$

г) $3x - 2,6 > 5,5x - 3,1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую.

$-2,6 + 3,1 > 5,5x - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$0,5 > 2,5x$

Разделим обе части неравенства на положительное число 2,5. Знак неравенства при этом сохранится.

$\frac{0,5}{2,5} > x$

Упростим дробь: $\frac{0,5}{2,5} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2$.

$0,2 > x$

Запишем неравенство в стандартном виде: $x < 0,2$.

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 0,2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,2)$