Страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

165. Решите уравнение:

а) $(x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих частях, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Левая часть уравнения:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1)$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + x^2 - 2x + 2x + 1 + 1 = 2x^2 + 2$

Правая часть уравнения:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2x + 2 = (x^2 + 4x + 4) - 2x + 2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + 4x - 2x + 4 + 2 = x^2 + 2x + 6$

Теперь приравняем упрощенные выражения левой и правой частей:

$2x^2 + 2 = x^2 + 2x + 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 - 2x + 2 - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$x_1 = \frac{-(-2) + 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}$

$x_2 = \frac{-(-2) - 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}$

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

б) $(2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, а в правой — формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Левая часть уравнения:

$(2x)^2 - 3^2 - 1 = 4x^2 - 9 - 1 = 4x^2 - 10$

Правая часть уравнения:

$5x + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) = 5x + x^2 - 4x + 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 + (5x - 4x) + 4 = x^2 + x + 4$

Приравняем упрощенные выражения:

$4x^2 - 10 = x^2 + x + 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - x^2 - x - 10 - 4 = 0$

$3x^2 - x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

$x_1 = \frac{-(-1) + 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-(-1) - 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $-2; \frac{7}{3}$.

166. Если с каждого гектара участка соберут 35 ц пшеницы, то план недовыполнят на 20 т; если с каждого гектара будет получено 42 ц, то план перевыполнят на 50 т. Какова площадь участка?

Для решения задачи введем неизвестную величину. Пусть $x$ — это площадь участка в гектарах (га).

Сначала рассмотрим разницу в урожайности на один гектар между двумя описанными случаями. В первом случае урожайность составляет 35 центнеров с гектара (ц/га), а во втором — 42 ц/га. Разница в урожайности равна:

$42 - 35 = 7$ ц/га.

Теперь рассмотрим, как эта разница в урожайности влияет на общий результат сбора урожая. В первом случае план недовыполнен на 20 тонн (т), а во втором — перевыполнен на 50 т. Это означает, что разница в общем урожае между вторым и первым случаями составляет сумму этих двух значений:

$20 \text{ т} + 50 \text{ т} = 70 \text{ т}$.

Чтобы все единицы измерения были одинаковыми, переведем тонны в центнеры. В одной тонне 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$):

$70 \text{ т} = 70 \times 10 = 700 \text{ ц}$.

Таким образом, увеличение урожайности на 7 центнеров с каждого гектара привело к увеличению общего сбора урожая на 700 центнеров. Зная это, можно составить уравнение, где произведение разницы урожайности на площадь участка равно общей разнице в сборе урожая:

$7 \times x = 700$

Решим это уравнение, чтобы найти площадь участка $x$:

$x = \frac{700}{7}$

$x = 100$

Следовательно, площадь участка составляет 100 гектаров.

Ответ: 100 га.

167. Если на каждую машину грузить 3,5 т груза, то останется 4 т; если на каждую машину грузить 4,5 т, то для полной загрузки всех машин не хватит 4 т груза. Сколько было машин?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это искомое количество машин. Также обозначим общую массу груза как $G$ (в тоннах).

Рассмотрим первое условие: "Если на каждую машину грузить 3,5 т груза, то останется 4 т". Это означает, что общая масса груза $G$ равна массе, погруженной на все $x$ машин, плюс остаток. Математически это можно записать в виде уравнения:
$G = 3.5 \cdot x + 4$

Теперь рассмотрим второе условие: "если на каждую машину грузить 4,5 т, то для полной загрузки всех машин не хватит 4 т груза". Это означает, что общая масса груза $G$ на 4 тонны меньше, чем полная вместимость всех машин при загрузке по 4,5 тонны. Это можно записать в виде второго уравнения:
$G = 4.5 \cdot x - 4$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Поскольку левые части обоих уравнений равны (это одна и та же общая масса груза $G$), мы можем приравнять их правые части:
$3.5x + 4 = 4.5x - 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Для этого сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой.
$4 + 4 = 4.5x - 3.5x$
$8 = (4.5 - 3.5)x$
$8 = 1x$
$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что было 8 машин.

Для проверки можно найти общую массу груза $G$, подставив $x=8$ в любое из первоначальных уравнений:
Из первого уравнения: $G = 3.5 \cdot 8 + 4 = 28 + 4 = 32$ тонны.
Из второго уравнения: $G = 4.5 \cdot 8 - 4 = 36 - 4 = 32$ тонны.
Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 8 машин.

1. Сформулируйте определение квадратичной функции.

Квадратичной функцией (или квадратным трёхчленом) называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $a, b$ и $c$ — некоторые заданные числа (коэффициенты).

Основное условие, которое определяет функцию как квадратичную, — это то, что старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Если $a = 0$, то член $ax^2$ исчезает, и функция становится линейной ($y = bx + c$), а не квадратичной.

Коэффициенты в уравнении квадратичной функции имеют свои названия:
$a$ — старший коэффициент (определяет направление ветвей параболы);
$b$ — второй коэффициент (влияет на положение вершины параболы);
$c$ — свободный член (показывает точку пересечения графика функции с осью ординат $Oy$).

Областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел, то есть $x$ может принимать любое значение от $-\infty$ до $+\infty$.

Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.

Ответ: Квадратичная функция — это функция, заданная формулой $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, $a, b, c$ — некоторые числа, причём $a \neq 0$.

2. Как выглядит график квадратичной функции y = ax² и какими свойствами обладает функция: а) при a › 0; б) при a ‹ 0?

а) при a > 0

Графиком квадратичной функции $y = ax^2$ при $a > 0$ является парабола. Ниже представлены ее основные характеристики и свойства функции.

Внешний вид графика:
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Эта точка является точкой минимума функции. Осью симметрии графика является ось ординат ($Oy$), уравнение которой $x=0$.
Коэффициент $a$ влияет на "ширину" параболы. Чем больше значение $a$, тем "уже" становится парабола, то есть ее ветви сильнее прижимаются к оси $Oy$. Чем меньше $a$ (но все еще положительно), тем парабола "шире".

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как $x^2 \ge 0$ и $a > 0$, то $y = ax^2 \ge 0$. Область значений — все неотрицательные числа. $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: Функция равна нулю при $ax^2 = 0$, то есть только при $x = 0$.
4. Четность: Функция является четной, поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
5. Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
6. Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения у функции нет.
7. Знакопостоянство: Функция принимает положительные значения ($y>0$) при всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: При $a > 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Функция четная, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$, область значений — $[0, +\infty)$, имеет точку минимума $(0, 0)$.

б) при a < 0

Графиком квадратичной функции $y = ax^2$ при $a < 0$ также является парабола, но с другими характеристиками.

Внешний вид графика:
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы, как и в предыдущем случае, находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Однако теперь эта точка является точкой максимума функции. Осью симметрии графика по-прежнему является ось ординат ($Oy$).
Абсолютное значение коэффициента $|a|$ влияет на "ширину" параболы. Чем больше $|a|$, тем "уже" парабола и тем сильнее она прижата к оси $Oy$.

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как $x^2 \ge 0$ и $a < 0$, то $y = ax^2 \le 0$. Область значений — все неположительные числа. $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Нули функции: Функция равна нулю при $ax^2 = 0$, то есть только при $x = 0$.
4. Четность: Функция является четной, так как $f(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
5. Промежутки монотонности: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.
6. Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего наибольшего значения, $y_{max} = 0$. Наименьшего значения у функции нет.
7. Знакопостоянство: Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) при всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: При $a < 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Функция четная, возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$, область значений — $(-\infty, 0]$, имеет точку максимума $(0, 0)$.

3. Как из графика функции y = ax² можно получить график функции:

а) y = ax² + n;

б) y = a (x – m)²;

в) y = a (x – m)² + n?

Чтобы получить графики заданных функций из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить преобразования, называемые параллельным переносом (сдвигом) графика.

а) График функции $y = ax^2 + n$ получается из графика функции $y = ax^2$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (оси OY). Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = ax^2$ соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, y_0 + n)$.
• Если $n > 0$, то сдвиг происходит вверх на $n$ единиц.
• Если $n < 0$, то сдвиг происходит вниз на $|n|$ единиц.
Вершина параболы при этом перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, n)$.

Ответ: график функции $y = ax^2 + n$ можно получить путем параллельного переноса графика функции $y = ax^2$ на $n$ единиц вдоль оси OY (вверх при $n>0$ и вниз при $n<0$).

б) График функции $y = a(x - m)^2$ получается из графика функции $y = ax^2$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс (оси OX). Чтобы получить то же значение $y$, что и в точке $x_0$ на исходном графике, на новом графике нужно взять точку с абсциссой $x_0 + m$, так как $a((x_0+m) - m)^2 = ax_0^2$.
• Если $m > 0$, то сдвиг происходит вправо на $m$ единиц.
• Если $m < 0$, то сдвиг происходит влево на $|m|$ единиц.
Вершина параболы при этом перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(m, 0)$.

Ответ: график функции $y = a(x - m)^2$ можно получить путем параллельного переноса графика функции $y = ax^2$ на $m$ единиц вдоль оси OX (вправо при $m>0$ и влево при $m<0$).

в) График функции $y = a(x - m)^2 + n$ получается из графика функции $y = ax^2$ путем выполнения двух последовательных параллельных переносов:
1. Сдвиг вдоль оси OX на $m$ единиц (вправо при $m>0$, влево при $m<0$).
2. Сдвиг вдоль оси OY на $n$ единиц (вверх при $n>0$, вниз при $n<0$).
Эти два сдвига можно рассматривать как один параллельный перенос, который перемещает каждую точку графика $y=ax^2$ на вектор с координатами $(m, n)$. В частности, вершина параболы перемещается из начала координат, точки $(0, 0)$, в точку с координатами $(m, n)$.

Ответ: график функции $y = a(x - m)^2 + n$ можно получить путем параллельного переноса графика функции $y = ax^2$ на $m$ единиц вдоль оси OX и на $n$ единиц вдоль оси OY. Иначе говоря, сдвигом, при котором вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(m, n)$.

4. Что представляет собой график квадратичной функции y = ax² + bx + c?

На примере функции y = 2x² – 12x + 16 покажите, как строят график квадратичной функции.

Что представляет собой график квадратичной функции y = ax? + bx + c?

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) является кривая, которая называется параболой.

Основные свойства параболы зависят от коэффициентов $a$, $b$ и $c$:

• Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего минимума (если $a > 0$) или максимума (если $a < 0$). Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = y(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$.
• Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Ее уравнение: $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$. Координаты этой точки — $(0, c)$.

Ответ: Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола.

На примере функции y = 2x? - 12x + 16 покажите, как строят график квадратичной функции.

Чтобы построить график функции $y = 2x^2 - 12x + 16$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=2$, $b=-12$.
   $x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
   Для нахождения ординаты вершины $y_0$ подставим значение $x_0=3$ в уравнение функции:
   $y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + 16 = 2 \cdot 9 - 36 + 16 = 18 - 36 + 16 = -2$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
   С осью Oy:
   Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
   $y(0) = 2(0)^2 - 12(0) + 16 = 16$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0, 16)$.
   С осью Ox (нули функции):
   Для этого нужно решить уравнение $y=0$, то есть $2x^2 - 12x + 16 = 0$.
   Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 - 6x + 8 = 0$.
   Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
   Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$.
   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Найти несколько дополнительных точек для большей точности построения.
   Возьмем значения $x$, симметричные относительно оси симметрии $x=3$. У нас уже есть точка $(0, 16)$. Симметричная ей точка относительно прямой $x=3$ будет иметь абсциссу $x = 3 + (3-0) = 6$. Проверим значение функции в этой точке:
   $y(6) = 2(6)^2 - 12(6) + 16 = 2 \cdot 36 - 72 + 16 = 72 - 72 + 16 = 16$.
   Следовательно, у нас есть точка $(6, 16)$.
   Возьмем еще одну точку, например, $x=1$.
   $y(1) = 2(1)^2 - 12(1) + 16 = 2 - 12 + 16 = 6$.
   Точка $(1, 6)$. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x = 3 + (3-1) = 5$.
   $y(5) = 2(5)^2 - 12(5) + 16 = 2 \cdot 25 - 60 + 16 = 50 - 60 + 16 = 6$.
   Следовательно, у нас есть точка $(5, 6)$.

5. Построить график.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: вершину $(3, -2)$, точки пересечения с осями $(0, 16)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$ и дополнительные точки $(1, 6)$, $(5, 6)$, $(6, 16)$. Соединяем эти точки плавной линией, получая параболу.

Ответ: Для построения графика квадратичной функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ необходимо последовательно найти направление ветвей (вверх), координаты вершины $(3, -2)$, точки пересечения с осями координат ($(0, 16)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$) и, при необходимости, несколько дополнительных точек, после чего соединить их плавной кривой.