Номер 2, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 2, страница 62.

Условие.

2. Как выглядит график квадратичной функции y = ax² и какими свойствами обладает функция: а) при a › 0; б) при a ‹ 0?

Решение 1.

Решение 8.

а) при a > 0

Графиком квадратичной функции $y = ax^2$ при $a > 0$ является парабола. Ниже представлены ее основные характеристики и свойства функции.

Внешний вид графика:
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Эта точка является точкой минимума функции. Осью симметрии графика является ось ординат ($Oy$), уравнение которой $x=0$.
Коэффициент $a$ влияет на "ширину" параболы. Чем больше значение $a$, тем "уже" становится парабола, то есть ее ветви сильнее прижимаются к оси $Oy$. Чем меньше $a$ (но все еще положительно), тем парабола "шире".

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как $x^2 \ge 0$ и $a > 0$, то $y = ax^2 \ge 0$. Область значений — все неотрицательные числа. $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: Функция равна нулю при $ax^2 = 0$, то есть только при $x = 0$.
4. Четность: Функция является четной, поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
5. Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
6. Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения у функции нет.
7. Знакопостоянство: Функция принимает положительные значения ($y>0$) при всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: При $a > 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Функция четная, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$, область значений — $[0, +\infty)$, имеет точку минимума $(0, 0)$.

б) при a < 0

Графиком квадратичной функции $y = ax^2$ при $a < 0$ также является парабола, но с другими характеристиками.

Внешний вид графика:
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы, как и в предыдущем случае, находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Однако теперь эта точка является точкой максимума функции. Осью симметрии графика по-прежнему является ось ординат ($Oy$).
Абсолютное значение коэффициента $|a|$ влияет на "ширину" параболы. Чем больше $|a|$, тем "уже" парабола и тем сильнее она прижата к оси $Oy$.

Свойства функции:
1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как $x^2 \ge 0$ и $a < 0$, то $y = ax^2 \le 0$. Область значений — все неположительные числа. $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Нули функции: Функция равна нулю при $ax^2 = 0$, то есть только при $x = 0$.
4. Четность: Функция является четной, так как $f(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
5. Промежутки монотонности: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.
6. Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего наибольшего значения, $y_{max} = 0$. Наименьшего значения у функции нет.
7. Знакопостоянство: Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) при всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: При $a < 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Функция четная, возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$, область значений — $(-\infty, 0]$, имеет точку максимума $(0, 0)$.