Номер 168, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 168, страница 66.

Условие.

168. Укажите асимптоты гиперболы:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Уравнение вида $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ задает гиперболу. У такой гиперболы есть две асимптоты: вертикальная и горизонтальная.

Вертикальная асимптота — это прямая, параллельная оси ординат, уравнение которой находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю (так как в этой точке функция не определена и ее график уходит в бесконечность). Для функции $y = \frac{10}{x-3} - 2$ приравниваем знаменатель к нулю:

$x - 3 = 0$

Отсюда получаем уравнение вертикальной асимптоты: $x = 3$.

Горизонтальная асимптота — это прямая, параллельная оси абсцисс, к которой стремится график функции, когда $x$ стремится к плюс или минус бесконечности ($x \to \pm\infty$). При очень больших по модулю значениях $x$, дробь $\frac{10}{x-3}$ стремится к нулю. Тогда значение функции $y$ стремится к значению $y_0$.

$y \to 0 - 2 = -2$

Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты: $y = -2$.

Ответ: асимптоты гиперболы — прямые $x=3$ и $y=-2$.

б) Аналогично найдем асимптоты для гиперболы $y = \frac{8}{x+2} - 3$.

Вертикальная асимптота находится из условия равенства знаменателя нулю:

$x + 2 = 0$

Отсюда уравнение вертикальной асимптоты: $x = -2$.

Горизонтальная асимптота. При $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{8}{x+2}$ стремится к нулю. Тогда значение функции $y$ стремится к:

$y \to 0 - 3 = -3$

Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты: $y = -3$.

Ответ: асимптоты гиперболы — прямые $x=-2$ и $y=-3$.