Номер 173, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 173, страница 67.

Условие.

173. Укажите функции, графиками которых являются гиперболы:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Графиком функции является гипербола, если эту функцию можно представить в виде дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $c \neq 0$ и $ad-bc \neq 0$. Такой вид всегда можно преобразовать к каноническому виду $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где $k \neq 0$. Основным признаком является наличие переменной $x$ в знаменателе, при условии, что дробь не сокращается до линейной функции или константы. Проанализируем каждую функцию.

1. $y = \frac{15}{x - 3}$

Данная функция уже представлена в каноническом виде гиперболы $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где коэффициент $k = 15$, $x_0 = 3$ и $y_0 = 0$. Так как $k \neq 0$ и переменная $x$ находится в знаменателе, график этой функции — гипербола.

Ответ: графиком функции является гипербола.

2. $y = \frac{37 + x}{37 - x}$

Это дробно-линейная функция. Для приведения к каноническому виду выделим целую часть дроби:

$y = \frac{x + 37}{-x + 37} = \frac{-( -x + 37) + 37 + 37}{-x + 37} = \frac{-(-x + 37)}{-x + 37} + \frac{74}{-x + 37} = -1 + \frac{74}{-(x - 37)} = -1 - \frac{74}{x - 37}$.

В результате получили функцию $y = \frac{-74}{x - 37} - 1$. Это канонический вид гиперболы с $k = -74$, $x_0 = 37$ и $y_0 = -1$. Так как $k \neq 0$, график функции — гипербола.

Ответ: графиком функции является гипербола.

3. $y = \frac{8x - 5}{25}$

Преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{8x}{25} - \frac{5}{25} = \frac{8}{25}x - \frac{1}{5}$.

Получили линейную функцию вида $y = mx + b$, где $m = \frac{8}{25}$ и $b = -\frac{1}{5}$. Графиком такой функции является прямая линия.

Ответ: графиком функции не является гипербола.

4. $y = \frac{8x - 40}{5x - 25}$

Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{8(x - 5)}{5(x - 5)}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=5$, так как при $x=5$ знаменатель обращается в ноль. Для всех $x \neq 5$ дробь можно сократить:

$y = \frac{8}{5}$.

Графиком этой функции является горизонтальная прямая $y = 1.6$ с выколотой точкой при $x=5$. Это не гипербола.

Ответ: графиком функции не является гипербола.

Таким образом, функции, графиками которых являются гиперболы, это функции под номерами 1 и 2.