Номер 169, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 169, страница 66.

Условие.

169. Постройте график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графиков всех заданных функций мы будем использовать преобразования базового графика функции $y=\frac{4}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

а) $y=\frac{4}{x-3}$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига (параллельного переноса) на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс Ox.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(3, 0)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
• Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1-3}=-2$.
Если $x=2$, то $y=\frac{4}{2-3}=-4$.
Если $x=4$, то $y=\frac{4}{4-3}=4$.
Если $x=5$, то $y=\frac{4}{5-3}=2$.
Если $x=7$, то $y=\frac{4}{7-3}=1$.
График представляет собой гиперболу с ветвями, расположенными относительно новых асимптот так же, как ветви $y=\frac{4}{x}$ относительно осей координат.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо. Асимптоты: $x=3$, $y=0$.

б) $y=\frac{4}{x}+2$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси ординат Oy.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(0, 2)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Найдем координаты нескольких точек:
Если $x=-4$, то $y=\frac{4}{-4}+2=1$.
Если $x=-2$, то $y=\frac{4}{-2}+2=0$ (точка пересечения с осью Ox).
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1}+2=6$.
Если $x=2$, то $y=\frac{4}{2}+2=4$.
Если $x=4$, то $y=\frac{4}{4}+2=3$.
График — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=2$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.

в) $y=\frac{4}{x+3}$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс Ox.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(-3, 0)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
• Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Найдем координаты нескольких точек:
Если $x=-7$, то $y=\frac{4}{-7+3}=-1$.
Если $x=-5$, то $y=\frac{4}{-5+3}=-2$.
Если $x=-4$, то $y=\frac{4}{-4+3}=-4$.
Если $x=-2$, то $y=\frac{4}{-2+3}=4$.
Если $x=-1$, то $y=\frac{4}{-1+3}=2$.
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1+3}=1$.
График — гипербола с асимптотами $x=-3$ и $y=0$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 3 единицы влево. Асимптоты: $x=-3$, $y=0$.

г) $y=\frac{4}{x}-2$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси ординат Oy.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(0, -2)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Найдем координаты нескольких точек:
Если $x=-2$, то $y=\frac{4}{-2}-2=-4$.
Если $x=-1$, то $y=\frac{4}{-1}-2=-6$.
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1}-2=2$.
Если $x=2$, то $y=\frac{4}{2}-2=0$ (точка пересечения с осью Ox).
Если $x=4$, то $y=\frac{4}{4}-2=-1$.
График — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-2$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вниз. Асимптоты: $x=0$, $y=-2$.