Номер 171, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 171, страница 66.

Условие.

171. Покажите схематически, как расположен график функции

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $m > 0, n < 0$

График функции $y = \frac{k}{x-m} + n$ является гиперболой. Он получается из графика базовой функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью параллельных переносов.

1. Определение асимптот. График имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты. Вертикальная асимптота задается уравнением $x - m = 0$, то есть $x = m$. Поскольку по условию $m > 0$, эта прямая расположена правее оси ординат ($Oy$). Горизонтальная асимптота задается уравнением $y = n$. Поскольку по условию $n < 0$, эта прямая расположена ниже оси абсцисс ($Ox$).

2. Определение центра симметрии. Асимптоты пересекаются в точке $(m, n)$. Так как $m > 0$ и $n < 0$, эта точка находится в IV координатной четверти.

3. Расположение ветвей. По условию $k < 0$. Это означает, что ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=m$ и $y=n$.

Схематически это выглядит так:

• Одна ветвь расположена в области, где $x > m$ и $y < n$. Эта ветвь целиком находится в IV координатной четверти основной системы координат.
• Вторая ветвь расположена в области, где $x < m$ и $y > n$. Эта ветвь пересекает ось $Oy$ и может пересекать ось $Ox$. Она проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График функции представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x=m$ (расположенной правее оси $Oy$) и горизонтальной асимптотой $y=n$ (расположенной ниже оси $Ox$). Ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно этих асимптот.

б) $m < 0, n > 0$

Аналогично проанализируем функцию $y = \frac{k}{x-m} + n$ при условиях $k < 0, m < 0, n > 0$.

1. Определение асимптот. Вертикальная асимптота: $x = m$. Так как $m < 0$, она расположена левее оси $Oy$. Горизонтальная асимптота: $y = n$. Так как $n > 0$, она расположена выше оси $Ox$.

2. Определение центра симметрии. Точка пересечения асимптот – $(m, n)$. Поскольку $m < 0$ и $n > 0$, центр симметрии гиперболы находится во II координатной четверти.

3. Расположение ветвей. Условие $k < 0$ означает, что ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно своих асимптот.

Схематически это выглядит так:

• Одна ветвь расположена в области, где $x < m$ и $y > n$. Эта ветвь целиком находится во II координатной четверти основной системы координат.
• Вторая ветвь расположена в области, где $x > m$ и $y < n$. Эта ветвь пересекает обе оси координат ($Ox$ и $Oy$) и проходит через I, III и IV координатные четверти.

Ответ: График функции представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x=m$ (расположенной левее оси $Oy$) и горизонтальной асимптотой $y=n$ (расположенной выше оси $Ox$). Ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно этих асимптот.