Номер 172, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 172, страница 67.

Условие.

172. Постройте график функции y=$\frac{3x-2}{x-2}$. Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данная задача состоит из трёх частей: построение графика, нахождение нулей функции и определение промежутков знакопостоянства. Решим каждую часть последовательно.

Построение графика функции $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$

Исходная функция — это дробно-рациональная функция. Её графиком является гипербола. Для удобства построения преобразуем выражение, выделив целую часть.

$y = \frac{3x - 2}{x - 2} = \frac{3x - 6 + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2) + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2)}{x - 2} + \frac{4}{x - 2} = 3 + \frac{4}{x - 2}$

Таким образом, функция имеет вид $y = \frac{4}{x - 2} + 3$. Её график получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{4}{x}$ с помощью сдвигов: на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

1. Область определения функции.
Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.
Горизонтальная асимптота: прямая $y = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{3 \cdot 0 - 2}{0 - 2} = \frac{-2}{-2} = 1$. Точка $(0, 1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $\frac{3x - 2}{x - 2} = 0 \implies 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.

4. Таблица дополнительных точек.

$x$	-2	1	3	4	6
$y$	2	-1	7	5	4

5. График функции.
На координатной плоскости строим асимптоты $x=2$ и $y=3$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными кривыми, получая ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=3$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно новых осей, образованных асимптотами.

Нахождение нулей функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю.

Приравняем функцию к нулю: $y = 0 \implies \frac{3x - 2}{x - 2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Числитель: $3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
2. Знаменатель при $x = \frac{2}{3}$: $x - 2 = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \neq 0$.

Следовательно, $x = \frac{2}{3}$ является нулём функции.

Ответ: Нуль функции: $x = \frac{2}{3}$.

Нахождение промежутков знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна). Для их нахождения решим неравенства $y > 0$ и $y < 0$, используя метод интервалов.

Ключевыми точками для метода интервалов являются нули функции и точки разрыва.
Нуль числителя: $x = \frac{2}{3}$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x = 2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции в каждом из них.

1. Интервал $(-\infty; \frac{2}{3})$: возьмём $x = 0$. $y(0) = \frac{-2}{-2} = 1 > 0$. Функция положительна.
2. Интервал $(\frac{2}{3}; 2)$: возьмём $x = 1$. $y(1) = \frac{1}{-1} = -1 < 0$. Функция отрицательна.
3. Интервал $(2; +\infty)$: возьмём $x = 3$. $y(3) = \frac{7}{1} = 7 > 0$. Функция положительна.

Ответ: Функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (2; +\infty)$. Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (\frac{2}{3}; 2)$.