Номер 175, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 175, страница 67.

Условие.

175. Найдите все точки графика функции y =$\frac{8x-7}{x}$, у которых и абсцисса, и ордината являются целыми числами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, мы ищем точки на графике функции $y = \frac{8x - 7}{x}$, у которых абсцисса $x$ и ордината $y$ являются целыми числами.

Для того чтобы найти такие точки, преобразуем выражение для функции. Выделим целую часть дроби:
$y = \frac{8x - 7}{x} = \frac{8x}{x} - \frac{7}{x} = 8 - \frac{7}{x}$

Из полученного выражения видно, что значение $y$ будет целым числом тогда и только тогда, когда выражение $\frac{7}{x}$ будет целым числом. Это возможно, если $x$ (который по условию тоже должен быть целым и не равным нулю) является делителем числа 7.

Найдем все целые делители числа 7. Такими делителями являются числа: $1$, $-1$, $7$, $-7$.

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующие им целочисленные значения $y$:

1. При $x = 1$:
$y = 8 - \frac{7}{1} = 8 - 7 = 1$
Таким образом, первая точка с целыми координатами — $(1, 1)$.

2. При $x = -1$:
$y = 8 - \frac{7}{-1} = 8 - (-7) = 8 + 7 = 15$
Вторая точка — $(-1, 15)$.

3. При $x = 7$:
$y = 8 - \frac{7}{7} = 8 - 1 = 7$
Третья точка — $(7, 7)$.

4. При $x = -7$:
$y = 8 - \frac{7}{-7} = 8 - (-1) = 8 + 1 = 9$
Четвертая точка — $(-7, 9)$.

Мы рассмотрели все возможные целочисленные значения $x$, при которых $y$ также является целым. Других таких точек на графике нет.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 15)$, $(7, 7)$, $(-7, 9)$.