Номер 180, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 180, страница 68.

Условие.

180. Изобразите схематически график функции f (x) = kx + b и перечислите её свойства, если:

а) k › 0, b › 0;

б) k ‹ 0, b ‹ 0;

в) k › 0, b ‹ 0.

Решение 1.

Решение 8.

а) $k > 0, b > 0$

График функции $f(x) = kx + b$ — это прямая линия. Так как угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей, то есть её график направлен вверх при движении слева направо. Угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ — острый. Так как свободный член $b > 0$, прямая пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, b)$, которая находится выше начала координат.

Точку пересечения с осью абсцисс (OX), или нуль функции, найдем, решив уравнение $kx + b = 0$. Отсюда $x = -b/k$. Поскольку $k > 0$ и $b > 0$, их отношение $b/k > 0$, а значит, $-b/k < 0$. Следовательно, прямая пересекает ось OX левее начала координат. Таким образом, график функции проходит через I, II и III координатные четверти.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$ (все действительные числа).

2. Область значений: $E(f) = (-\infty, +\infty)$ (все действительные числа).

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), поскольку $k \neq 0$ и $b \neq 0$.

4. Нули функции: функция обращается в нуль при $x = -b/k$.

5. Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$, так как $k > 0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x > -b/k$; $f(x) < 0$ при $x < -b/k$.

7. Точки пересечения с осями координат: с осью OY в точке $(0, b)$, с осью OX в точке $(-b/k, 0)$.

Ответ: График функции — это возрастающая прямая, проходящая через I, II и III координатные четверти, пересекающая ось OY в точке $(0, b)$ и ось OX в точке $(-b/k, 0)$, где $b>0$ и $-b/k<0$.

---

б) $k < 0, b < 0$

График функции $f(x) = kx + b$ — это прямая линия. Так как угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей, то есть её график направлен вниз при движении слева направо. Угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ — тупой. Так как свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, b)$, которая находится ниже начала координат.

Точку пересечения с осью абсцисс (OX) найдем из уравнения $kx + b = 0$, откуда $x = -b/k$. Поскольку $k < 0$ и $b < 0$, их отношение $b/k > 0$, а значит, $-b/k < 0$. Следовательно, прямая пересекает ось OX левее начала координат. Таким образом, график функции проходит через II, III и IV координатные четверти.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -b/k$.

5. Промежутки монотонности: функция строго убывает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$, так как $k < 0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x < -b/k$; $f(x) < 0$ при $x > -b/k$.

7. Точки пересечения с осями координат: с осью OY в точке $(0, b)$, с осью OX в точке $(-b/k, 0)$.

Ответ: График функции — это убывающая прямая, проходящая через II, III и IV координатные четверти, пересекающая ось OY в точке $(0, b)$ и ось OX в точке $(-b/k, 0)$, где $b<0$ и $-b/k<0$.

---

в) $k > 0, b < 0$

График функции $f(x) = kx + b$ — это прямая линия. Так как угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей, а угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ — острый. Так как свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, b)$, которая находится ниже начала координат.

Точку пересечения с осью абсцисс (OX) найдем из уравнения $kx + b = 0$, откуда $x = -b/k$. Поскольку $k > 0$ и $b < 0$, их отношение $b/k < 0$, а значит, $-b/k > 0$. Следовательно, прямая пересекает ось OX правее начала координат. Таким образом, график функции проходит через I, III и IV координатные четверти.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -b/k$.

5. Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$, так как $k > 0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x > -b/k$; $f(x) < 0$ при $x < -b/k$.

7. Точки пересечения с осями координат: с осью OY в точке $(0, b)$, с осью OX в точке $(-b/k, 0)$.

Ответ: График функции — это возрастающая прямая, проходящая через I, III и IV координатные четверти, пересекающая ось OY в точке $(0, b)$ и ось OX в точке $(-b/k, 0)$, где $b<0$ и $-b/k>0$.