Номер 185, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 185, страница 68.

Условие.

185. Постройте в одной системе координат графики функций y = $\frac{1}{9}$x³ и y = -$\frac{1}{9}$x³. Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой функции.

Решение 1.

Решение 8.

Построение графиков функций $y = \frac{1}{9}x^3$ и $y = -\frac{1}{9}x^3$

Обе функции являются разновидностями кубической параболы. График функции $y = \frac{1}{9}x^3$ получается из графика $y = x^3$ путем сжатия к оси Ох в 9 раз. График функции $y = -\frac{1}{9}x^3$ является зеркальным отражением графика $y = \frac{1}{9}x^3$ относительно оси Ох.

Для построения графиков в одной системе координат составим таблицу значений для нескольких ключевых точек.

Таблица значений:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
$y = \frac{1}{9}x^3$ | -3 | $-\frac{8}{9}$ | $-\frac{1}{9}$ | 0 | $\frac{1}{9}$ | $\frac{8}{9}$ | 3
$y = -\frac{1}{9}x^3$ | 3 | $\frac{8}{9}$ | $\frac{1}{9}$ | 0 | $-\frac{1}{9}$ | $-\frac{8}{9}$ | -3

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим два графика. Оба проходят через начало координат (0,0). График $y = \frac{1}{9}x^3$ расположен в I и III координатных четвертях. График $y = -\frac{1}{9}x^3$ расположен во II и IV координатных четвертях.

Промежутки возрастания и убывания для функции $y = \frac{1}{9}x^3$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, проанализируем поведение функции. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Возьмем любые $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.
Так как функция $g(x) = x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, то из $x_1 < x_2$ следует $x_1^3 < x_2^3$.
Умножим обе части неравенства на положительное число $\frac{1}{9}$. Знак неравенства при этом не изменится: $\frac{1}{9}x_1^3 < \frac{1}{9}x_2^3$.
Таким образом, $y(x_1) < y(x_2)$. Это означает, что функция $y = \frac{1}{9}x^3$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

Промежутки возрастания и убывания для функции $y = -\frac{1}{9}x^3$

Проведем аналогичный анализ для второй функции. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Возьмем любые $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.
Как и ранее, из $x_1 < x_2$ следует $x_1^3 < x_2^3$.
Теперь умножим обе части неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{9}$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный: $-\frac{1}{9}x_1^3 > -\frac{1}{9}x_2^3$.
Таким образом, $y(x_1) > y(x_2)$. Это означает, что функция $y = -\frac{1}{9}x^3$ убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.